Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Prüfen sie ob die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ak konvergiert wobei ak geg. sind durch
a) [mm] \wurzel{\bruch{1}{k}}
[/mm]
b) [mm] \bruch{\wurzel{k}}{\wurzel{k^5+1}}
[/mm]
c) [mm] \bruch{k+3}{k^2-k+2} [/mm] |
bei a) hab ich gesgat das [mm] \wurzel{\bruch{1}{k}} [/mm] = ( [mm] \bruch{1}{k} [/mm] ) ^1/2 aber ich weiß nicht wie ich jetzt weiter machen soll ich bin der Meinung das konvergiert gegen 0 weil wurzel k ja trotzdem immer größer wird aber ich darf kein minoranten bzw majorantenkriterium und auch das wurzelkriterium noch nicht verwenden hab also keinen ahnung wie ich da weiter machen soll. Hab überlegt da irgendwas mit zu multiplizieren oder addieren wo ne reihe rauskommt die eindeutig konvergiert oder auch nicht.
das gleiche bei der b) da hab ich mim nenner erweitert und weiß jetz auch nicht mehr weiter
bei der c könnte ich doch mit den grenzwertsätzen dran gehen oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo sunnygirl,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Prüfen sie ob die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] ak
> konvergiert wobei ak geg. sind durch
> a) [mm]\wurzel{\bruch{1}{k}}[/mm]
> b) [mm]\bruch{\wurzel{k}}{\wurzel{k^5+1}}[/mm]
> c) [mm]\bruch{k+3}{k^2-k+2}[/mm]
> bei a) hab ich gesgat das [mm]\wurzel{\bruch{1}{k}}[/mm] = (
> [mm]\bruch{1}{k}[/mm] ) ^1/2 aber ich weiß nicht wie ich jetzt
> weiter machen soll ich bin der Meinung das konvergiert
> gegen 0 weil wurzel k ja trotzdem immer größer wird
Damit hättest du das Trivialkriterium für Reihenkonvergenz schonmal untersucht [mm] (a_k [/mm] ist Nullfolge). Das ist aber nur notwendig für Konvergenz der Reihe und nicht hinreichend.
> aber ich darf kein minoranten bzw majorantenkriterium und auch
> das wurzelkriterium noch nicht verwenden hab also keinen
> ahnung wie ich da weiter machen soll.
Was dürfte ihr denn dann verwenden?
Bei a) wäre das Minorantenkriterium wohl das Mittel der Wahl gewesen, denn [mm] \frac{1}{\sqrt{k}}>\frac{1}{k}. [/mm] Damit kann man die Reihe mit der harmonischen Reihe nach unten abschätzen und die divergiert bekanntlich.
> Hab überlegt da
> irgendwas mit zu multiplizieren oder addieren wo ne reihe
> rauskommt die eindeutig konvergiert oder auch nicht.
> das gleiche bei der b) da hab ich mim nenner erweitert und
> weiß jetz auch nicht mehr weiter
Die zugehörige ist in der Größenordnung von [mm] \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2} [/mm] und daher konvergent (das sieht man, wenn man [mm] \sqrt{k} [/mm] kürzt).
>
> bei der c könnte ich doch mit den grenzwertsätzen dran
> gehen oder?
Hier ist die Reihe in der Größenordnung der harmonischen Reihe und divergiert daher.
Formal müsste (a) und (b) aber auch wieder über eine Abschätzung gezeigt werden.
Also nochmal: Was dürft ihr überhaupt schon verwenden?
LG
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> Prüfen sie ob die Reihe ak
> konvergiert wobei ak geg. sind durch
> a)
> b)
> c)
> bei a) hab ich gesgat das = (
> ) ^1/2 aber ich weiß nicht wie ich jetzt
> weiter machen soll ich bin der Meinung das konvergiert
> gegen 0 weil wurzel k ja trotzdem immer größer wird
Damit hättest du das Trivialkriterium für Reihenkonvergenz schonmal untersucht ist Nullfolge). Das ist aber nur notwendig für Konvergenz der Reihe und nicht hinreichend.
> aber ich darf kein minoranten bzw majorantenkriterium und auch
> das wurzelkriterium noch nicht verwenden hab also keinen
> ahnung wie ich da weiter machen soll.
Was dürfte ihr denn dann verwenden?
Bei a) wäre das Minorantenkriterium wohl das Mittel der Wahl gewesen, denn Damit kann man die Reihe mit der harmonischen Reihe nach unten abschätzen und die divergiert bekanntlich.
> Hab überlegt da
> irgendwas mit zu multiplizieren oder addieren wo ne reihe
> rauskommt die eindeutig konvergiert oder auch nicht.
> das gleiche bei der b) da hab ich mim nenner erweitert und
> weiß jetz auch nicht mehr weiter
Die zugehörige ist in der Größenordnung von und daher konvergent (das sieht man, wenn man kürzt).
>
> bei der c könnte ich doch mit den grenzwertsätzen dran
> gehen oder?
Hier ist die Reihe in der Größenordnung der harmonischen Reihe und divergiert daher.
Formal müsste (a) und (b) aber auch wieder über eine Abschätzung gezeigt werden.
Also nochmal: Was dürft ihr überhaupt schon verwenden?
LG
bis jetzt dürfen wir die grenzwertsätze, die definition von konvergenz und einen satz der besagt, dass wenn ak und bk gegene A bzw B konvergieren dann konvergiert auch Aak + Bbk. dann einen staz das wenn ak eine relle folge ist ak genau dann konvergiert wenn die folge sn der partialsumme nach oben beschränkt ist und einen satz der sagt [mm] \summe_{k=1}^{\infinity} \bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] konvergiert gegen 1 weil [mm] sn=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] gegen 1 konvergiert. Außerdme dürfen wir die bekannten reihen wie die harmonische und die geometrische reihe verwenden.
Eigentlich ist das ja schon recht viel aber ich hab halt letztes semester schn ana I belegt und jetzt mache ich mathe grundlagen also eigentlich die einfacherer form aber mir fehlt halt wirklich as majo- bzw minorantenkriterium.
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Hallo sunnygirl26,
> > Prüfen sie ob die Reihe ak
> > konvergiert wobei ak geg. sind durch
> > a)
> > b)
> > c)
>
> > bei a) hab ich gesgat das = (
> > ) ^1/2 aber ich weiß nicht wie ich jetzt
> > weiter machen soll ich bin der Meinung das konvergiert
> > gegen 0 weil wurzel k ja trotzdem immer größer wird
>
> Damit hättest du das Trivialkriterium für
> Reihenkonvergenz schonmal untersucht ist Nullfolge). Das
> ist aber nur notwendig für Konvergenz der Reihe und nicht
> hinreichend.
> > aber ich darf kein minoranten bzw majorantenkriterium und
> auch
> > das wurzelkriterium noch nicht verwenden hab also keinen
> > ahnung wie ich da weiter machen soll.
>
> Was dürfte ihr denn dann verwenden?
> Bei a) wäre das Minorantenkriterium wohl das Mittel der
> Wahl gewesen, denn Damit kann man die Reihe mit der
> harmonischen Reihe nach unten abschätzen und die
> divergiert bekanntlich.
>
> > Hab überlegt da
> > irgendwas mit zu multiplizieren oder addieren wo ne reihe
> > rauskommt die eindeutig konvergiert oder auch nicht.
> > das gleiche bei der b) da hab ich mim nenner erweitert und
> > weiß jetz auch nicht mehr weiter
>
> Die zugehörige ist in der Größenordnung von und daher
> konvergent (das sieht man, wenn man kürzt).
> >
> > bei der c könnte ich doch mit den grenzwertsätzen dran
> > gehen oder?
>
> Hier ist die Reihe in der Größenordnung der harmonischen
> Reihe und divergiert daher.
> Formal müsste (a) und (b) aber auch wieder über eine
> Abschätzung gezeigt werden.
>
> Also nochmal: Was dürft ihr überhaupt schon verwenden?
>
>
> LG
>
>
> bis jetzt dürfen wir die grenzwertsätze, die definition
> von konvergenz und einen satz der besagt, dass wenn ak und
> bk gegene A bzw B konvergieren dann konvergiert auch Aak
> + Bbk. dann einen staz das wenn ak eine relle folge ist ak
> genau dann konvergiert wenn die folge sn der partialsumme
> nach oben beschränkt ist und einen satz der sagt
> [mm]\summe_{k=1}^{\infinity} \bruch{1}{k*(k+1)}[/mm] konvergiert
> gegen 1 weil [mm]sn=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k*(k+1)}[/mm] gegen 1
> konvergiert.
Das hilft hier nicht viel, denn die Reihen in a) und c) sind divergent ...
> Außerdme dürfen wir die bekannten reihen wie
> die harmonische und die geometrische reihe verwenden.
> Eigentlich ist das ja schon recht viel aber ich hab halt
> letztes semester schn ana I belegt und jetzt mache ich
> mathe grundlagen also eigentlich die einfacherer form aber
> mir fehlt halt wirklich as majo- bzw minorantenkriterium.
Ja und genau das hilft hier, das solltest du dringend nachholen, das ist fundamental für die Konvergenzuntersuchung von Reihen.
Kamaleonti hat dir schon Tipps gegeben, versuche mal, diese umzusetzen, nachdem du dir das Vergleichskriterium mal angesehen hast.
Prinzip:
1) Major.:
Finde zu deiner Ausgangsreihe eine konvergente Majorante, also eine bekanntermaßen konvergente größere Reihe, dh. eine Reihe mit endlichem Wert. Dann bleibt deiner armen kleineren Ausgangsreihe doch nichts anderes übrig als auch einen endlichen Wert zu haben, also zu konvergieren.
Bekannte konv. Vergleichsreihen sind geometr. Reihen [mm]\sum q^k[/mm] mit [mm]|q|<1[/mm] oder Reihen des Tys [mm]\sum\limits_n\frac{1}{n^s}[/mm] mit [mm]s>1[/mm]
2) Minor.:
Finde zu deiner Ausgangsreihe eine divergente Minorante, also eine bekanntermaßen divergente kleinere Reihe, also eine Reihe, die keinen endlichen Wert hat, dann hat deine größere Ausgangsreihe erst recht keinen endl. Wert, ist also div.
Bekannte div. Vgl.reihen: Typ [mm]\sum\limits_n\frac{1}{n^s}[/mm] mit [mm]s\le 1[/mm] (für [mm]s=1[/mm] also auch die harmon. Reihe) ...
Gruß
schachuzipus
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nene ich kenne das majo bzw minorantenkriterium darf sie aber noch nicht verwenden deswegen fehlen sie mir um die aufgabe zu bearbeiten ;) und das ist hier das problem ich würde das auch damit machen frage mich nur wie ich das ohne die beiden machen soll
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Hallo sunnygirl,
da sind wir offenbar auch alle ein bisschen aufgeschmissen. Es gibt eine Vielzahl von Konvergenzkriterien für Reihen, aber wenn Du die alle nicht verwenden darfst, sind diese Aufgaben kaum lösbar.
Zumindestens bei Aufgabe b sehe ich überhaupt keinen Weg, der ohne weitere Kriterien gangbar wäre - auch ich würde da das Vergleichskriterium vorschlagen.
Aufgabe a ist allerdings auch so zu lösen:
Die harmonische Folge [mm] h_n=\bruch{1}{n} [/mm] ist eine Teilfolge der gegebenen Folge [mm] a_k=\bruch{1}{\wurzel{k}}, [/mm] da [mm] a_k=h_n [/mm] für [mm] k=n^2.
[/mm]
Die zu untersuchende Reihe enthält also alle Glieder der harmonischen Reihe (und unendlich viel weitere dazu). Sie ist daher divergent.
Aufgabe c mag zu schaffen sein, wenn man eine Formel für die Partialsummen findet. Das ist evtl. möglich, aber sicher nicht einfach:
[mm] s_1=2,\ s_2=\bruch{13}{4},\ s_3=4,\ s_4=\bruch{9}{2},\ s_5=\bruch{107}{22},\ \cdots
[/mm]
Jetzt wäre die Aufgabe, zwei Polynome P(n), Q(n) zu finden, so dass [mm] s_n=\bruch{P(n)}{Q(n)} [/mm] ist, und zwar für alle n.
Das ist m.E. möglich, kann aber eigentlich kaum Sinn der Aufgabe sein.
Alternativ könnte man bestimmen, was [mm] a_{k}-\bruch{1}{k} [/mm] ist. Aber das wäre eigentlich auch nur das Vergleichskriterium in grün.
Also etwas ratlose Grüße
reverend
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ich hab das jetzt einfach mit dne vergleichskriterium gemacht mal gucken was da bei rausommt weil falsch kann es ja nicht sein ;)
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