Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 So 12.12.2010 | | Autor: | Erstie |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie jeweils Konvergenz und absolute Konvergenz der folgenden Reihen in Abhängigkeit von x [mm] \in \IR
[/mm]
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-x)^{n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!} [/mm] |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter
b)
Quotientenkriterium:
[mm] |\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{n!}{x^{n}}| [/mm] = ...= [mm] \bruch{|x|}{n+1} [/mm] = |x| * [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (|x| * [mm] \bruch{1}{n+1}) [/mm] = |x|
hier weiß ich nicht mehr weiter
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
a)
wenn man hier das Wurzelkritierum verwendet bekommt man
[mm] \wurzel[n]{|(-x)^{n}}| =\wurzel[n]{x^{n}} [/mm] =x
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] x = x
hier kann ich sagen , dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|(-x)^{n}}| [/mm] < 1 --> absolut konvergent
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|(-x)^{n}}| [/mm] > 1 --> divergent
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|(-x)^{n}}| [/mm] =1 --> keine Aussage
Wie kann ich feststellen, ob die Reihe konvergiert, absolut konvergiert oder divergiert?
Gruß Erstie
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> Beweisen oder widerlegen Sie jeweils Konvergenz und
> absolute Konvergenz der folgenden Reihen in Abhängigkeit
> von x [mm]\in \IR[/mm]
>
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-x)^{n}[/mm]
> b)
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!}[/mm]
> Hallo,
>
> ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter
>
> b)
> Quotientenkriterium:
>
> [mm]|\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}[/mm] * [mm]\bruch{n!}{x^{n}}|[/mm] = ...=
> [mm]\bruch{|x|}{n+1}[/mm] = |x| * [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (|x| * [mm]\bruch{1}{n+1})[/mm] = |x|
hier kommt nicht |x| raus, sondern 0. denn das x kann zwar beliebig gross sein, ist aber in hinblick auf den limes fest, sodass n noch viel grösser wird als x selbst.
>
> hier weiß ich nicht mehr weiter
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
>
> a)
> wenn man hier das Wurzelkritierum verwendet bekommt man
> [mm]\wurzel[n]{|(-x)^{n}}| =\wurzel[n]{x^{n}}[/mm] =x
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] x = x
>
> hier kann ich sagen , dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|(-x)^{n}}|[/mm] < 1 -->
> absolut konvergent
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|(-x)^{n}}|[/mm] > 1 -->
> divergent
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|(-x)^{n}}|[/mm] =1 -->
> keine Aussage
>
>
> Wie kann ich feststellen, ob die Reihe konvergiert, absolut
> konvergiert oder divergiert?
die n. wurzel hebt doch die n. potenz auf (weil der betrag eh schon drunter steht). es bleibt ergo |-x|<1 stehen, wenn es konvergent sein soll.
das fix auflösen
>
> Gruß Erstie
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Erstie |
Danke für die schnelle Hilfe
Gruß Erstie
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