Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Do 23.04.2009 | | Autor: | StevieG |
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^{n}}{n^{4}}
[/mm]
Quotientenkriterium:
[mm] \bruch{\bruch{3^{n+1}}{(n+1)^{4}}}{\bruch{3^{n}}{n^{4}}}= \bruch{3^{n+1}}{(n+1)^{4}}\bruch{n ^{4}}{3^{n}}=\bruch{3}{n}
[/mm]
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Hallo StevieG,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^{n}}{n^{4}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Quotientenkriterium:
>
> $\bruch{\bruch{3^{n+1}}{(n+1)^{4}}}{\bruch{3^{n}}{n^{4}}}= \bruch{3^{n+1}}{(n+1)^{4}}\bruch{n ^{4}}{3^{n}}$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> $=\bruch{3}{n}$ ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Boah, was ist denn hier furchtbares passiert?
Zum einen musst du $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ berechnen, zum anderen ist der letzte Schritt grottenfalsch.
Wie kommst du darauf und was hältst du davon, $(n+1)^4$ zu schreiben als $n^4\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^4$ und nochmal genauer hinzuschauen ...?
Wahlweise rechne $(n+1)^4$ aus und klammere $n^4$ aus ...
Bei deinem Ergebnis wäre der Limes für n\to\infty Null, die Reihe würde also konvergieren.
Das kann nicht sein, weil du mit bloßem Auge sehen kannst, dass die Folge $\left(\frac{3^n}{n^4}\right)_{n\in\IN$ schon keine Nullfolge ist, womit das Trivialkriterium verletzt ist.
Rechne also den $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ nochmal aus!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Do 23.04.2009 | | Autor: | StevieG |
... [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3}{(1+\bruch{1}{n}^{4}}= [/mm] 3
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Hallo nochmal,
> ...
> [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3}{(1+\bruch{1}{n}\red{)}^{4}}= [/mm] 3$ ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Also ...
LG
schachuzipus
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