Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz
(i) [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{2^n}{n!} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | (ii) [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{n!}{n^n} [/mm] |
Hallo...
alsooo, für erstere Aufgabe habe ich mir nach dem Quotientenkriterium überlegt;
[mm] \bruch{\bruch{2^{n+1}{n+1!}}}{\bruch{2^n}{n!}}
[/mm]
nach dem Kürzen steht da dann ja
[mm] \bruch{2}{n}
[/mm]
was ja für alle n>2 kleiner 1 ist und somit konvergiert! Würde das als Lösung für die Aufgabenstellung reichen?
Für zweitere Aufgabe fehlt mir die weitere Vorgehensweise. Hab auch hier erstmal das Quotientenkriterium angewendet und dann da herausbekommen;
[mm] \bruch{\bruch{n+1!}{n+1^{n+1}}}{\bruch{n!}{n^n}}
[/mm]
und nach dem Kürzen hab ich dann da stehen;
[mm] \bruch{n}{\bruch{n+1^{n}+n+1}{n^{n}}}
[/mm]
Kann man das dann noch weiter kürzen?
Danke schonmal!
Grüße,
moat
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Hallo moattiliatta,
Ich nehme einfach mal an das soll jeweils [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{k}a_{n} [/mm] und nicht "i" als Laufindex sein.
Wenn Reihen nur nach Konvergenz untersucht werden sollen, und nicht dabei steht, dass du den Grenzwert angeben sollst, dann reichen die Konvergenzkriterien völlig.
Dann ist es aber notwenig, diese auch richtig anzuwenden.
Die a) kann man über das Quotientenkriterium zeigen:
Es besagt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}<1 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_{k} [/mm] ist konvergent
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}>1 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_{k} [/mm] ist divergent
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=1 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_{k} [/mm] ist konvergent oder divergent (kann keine Aussage getroffen werden)
nun zur a)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\bruch{2^{n}}{n!}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^{n+1}*n!}{2^{n}*(n+1)!}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{n+1}=0
[/mm]
D.h. die Reihe ist konvergent.
nun zur b)
Wir können gern das Quotientenkriterium versuchen, aber es wird nichts bringen, denn
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)!*n^{n}}{n!*n^{n+1}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)}{n}=1 [/mm] und somit ist keine Aussage möglich.
Es bringt in diesem Fall etwas, sich diese Reihe einmal genauer aufzuschreiben:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{k}\bruch{n!}{n^{n}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{n}{n}+\bruch{n-1}{n}+\bruch{n-2}{n}+...+\bruch{1}{n}.
[/mm]
[mm] \bruch{n}{n}+\bruch{n-1}{n}+\bruch{n-2}{n}+...+\bruch{1}{n} [/mm] > [mm] \bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n} [/mm] (n-mal)
Jetzt findet du vllt schnell eine Minorante, die divergiert!
lg Kai
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