Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Do 30.08.2007 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^n n^2}{n!} [/mm] ; [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n+3)(n-3)}{n^3}; [/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{(n^2)}n^{-\bruch{1}{2}} [/mm] |
Für die erste Reihe fand ich das Quotientenkriterium ganz passend:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le \theta [/mm] , für eine Zahl 0 < [mm] \theta [/mm] < 1.
[mm] |\bruch{2^{n+1}(n+1)^2}{(n+1)n!} \bruch{n!}{2^n n^2}| [/mm] = [mm] |\bruch{2(n+1)^2}{n^2}| [/mm] = [mm] |\bruch{2n^2 + 4n + 2}{n^2}| [/mm] = |2 + [mm] \bruch{4}{n} [/mm] + [mm] \bruch{2}{n^2}| [/mm] > 1 > [mm] \theta [/mm] für alle n.
Daraus folgt: Die Reihe konvergiert nicht nach Quotientenkriterium.
Nun meine Frage: Ist dieser Weg/Gedankengang a) richtig und b) bedeutet das, dass die Reihe tatsächlich nicht konvergiert? Oder nur nicht nach
dem Quotientenkriterium?
Die zweite Reihe habe ich erst einmal umgeformt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2 - 9}{n^3}
[/mm]
Nun schweben mir zwei Lösungswege vor:
a) ich unterteile die Reihe in die Reihen [mm] (\bruch{1}{n}) [/mm] und [mm] (\bruch{-9}{n^3}) [/mm] und untersuche die auf Konvergenz. Per Definition aus der Vorlesung (oder war es ein Satz? ^^) müsste dann auch die gesamte Reihe konvergieren.
b) Ich versuche es mit einem Konvergenzkriterium. Nur ist die Frage welches, das Quotientenkriterium wirkt hier kompliziert, , das Majorantenkriterium durchschaue ich noch nicht so ganz. Und eine Teleskopreihe sehe ich hier nicht ^^. Bliebe hier für mich eigentlich nur das Wurzelkriterium.
Nur, wie schließe ich (formell)
[mm] \wurzel[n]{|\bruch{n^2 - 9}{n^3}|} [/mm] < 1?
Streng logisch scheint es offensichtlich...
Wie aus meiner Fragestellung hoffentlich klar geworden ist, bin ich gerade einigermaßen verwirrt und würde mich über Hilfestellungen/Tipps/Anregungen freuen ;)
Bei der dritten Reihe überlege ich noch, auf die komme ich später zurück. Danke ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Do 30.08.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Mir ist gerade aufgefallen, dass ich bei der ersten Reihe bei dem Quotientenkriterium ein, zwei dicke Fehler gemacht habe... :(
Zum einen kommt da [mm] \bruch{2n+2}{n^2} [/mm] heraus, da ich im Nenner das (n+1) verschlampt habe, zum anderen war mir die Bedingung n [mm] \ge n_0 [/mm] entfallen, so dass:
[mm] \bruch{2n+2}{n^2} \le \theta [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 3 => Die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium.
Oder habe ich da wieder was übersehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Do 30.08.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
bei der ersten Reihe hast du einen Fehler gemacht beim Quotientenkriterium, deswegen divergiert die Reihe bei dir, in Wirklichkeit konvergiert sie aber.
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| =|\bruch{2^{n+1}(n+1)^2*n!}{2^{n}*n^{2}(n+1)!}|
[/mm]
[mm] =|2*\bruch{1}{n+1}*\bruch{(n+1)^{2}}{n^{2}}| [/mm]
Wenn man jetzt von diesem Term den Grenzwert für n gegen unendlich berechnet, dann konvergiert der ganze Term gegen 0 und somit ist der Term [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le \theta [/mm] für [mm] 0\le\theta\le [/mm] 1
Also konvergiert die Reihe.
Bei der zweiten Reihe ist das Quotientenkriterium zwar nicht sehr kompliziert, aber wenn man es durchführt, dann ergibt das Quotientenkriterium das der Term gegen 1 läuft und somit lässt sich keine Aussage über Konvergenz treffen. Also muss man sowieso etwas anderes machen. Die Idee den Term aufzuspalten in zwei Summanden ist gut. Dann hast du also: [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n^{2}}{n^{3}}- \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{9}{n^{3}}
[/mm]
Die erste Reihe divergiert bekanntermaßen, die zweite Reihe konvergiert. Insgesamt betrachtet, divergiert die Reihe.
Nochmal zur ersten Aufgabe und deiner Frage. Wenn eine Reihe nach dem Quotientenkriterium konvergiert oder divergiert, und man also alles richtig gemacht hat bei den Umformungen, das muss natürlich vorausgesetzt werden, dann konvergiert oder divergiert die Reihe auch. Und dies nicht nur nach dem Quotientenkriterium. Es wäre doch seltsam und auch überhaupt nicht aussagekräftig wenn eine Reihe nach einem Kriterium konvergiert und nach einem anderen divergiert. Wie sollte man denn dann solche Reihen überprüfen. In der Vorlesung wird ja auch bewiesen, das das Quotientenkriterium funktioniert.
So, nun hoffe ich habe ich dich nicht allzu sehr verwirrt und konnte dir ein bisschen weiterhelfen.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Do 30.08.2007 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^{2}}{n^{3}}- \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{9}{n^{3}} [/mm] |
Meine einzige Frage hier ist, warum [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^{2}}{n^{3}} [/mm] divergiert.
Das ist doch identisch mit [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] - und die konvergiert doch, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Do 30.08.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}[/mm] - und die konvergiert
> doch, oder?
Diese Reihe ist wohl bekannt und heißt die harmonische Reihe. Die ist bekanntlich ![[]](/images/popup.gif) divergent.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Do 30.08.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Ach ja, danke. Mir schwirrt grad etwas der Kopf. Das hätte ich allerdings trotzdem sehen müssen. ^^
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Hallo MaRaQ, hallo Dominic,
ich halte das "Auseinanderzeihen" bei der Reihe in (b) für "problematisch"
War da nicht der Satz, dass
Wenn [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_k=A \wedge \sum_{k=0}^{\infty}b_k=B, [/mm] so ist [mm] \sum_{k=0}^{\infty}(a_k+b_k)=A+B
[/mm]
Da gilt doch die Umkehrung (i.A.) nicht, dh. ohne das Wissen, dass [mm] \sum_k(a_k+b_k) [/mm] divergiert...
Ich würde sicherheitshalber mit dem Vergleichskriterium argumentieren und eine divergente Minorante suchen.
Es ist ja für [mm] n\ge [/mm] 5 [mm] n^2\ge [/mm] 25 [mm] \Rightarrow \frac{n^2}{2}\ge [/mm] 12,5 [mm] (\ge [/mm] 9)
Also [mm] -9\ge -\frac{n^2}{2}
[/mm]
Damit ist [mm] \sum\limits_{n=5}^{\infty}\frac{n^2-9}{n^3}\ge\sum\limits_{n=5}\frac{{n^2-\frac{n^2}{2}}}{n^3}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=5}^{\infty}\frac{1}{n}
[/mm]
Also divergiert die Reihe in (b)
zu (c): das [mm] (-1)^{n^2} [/mm] ist doch immer 1, also hast du da effektiv die Reihe [mm] \sum_n\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}
[/mm]
Und die Reihen [mm] \sum_n\frac{1}{n^s} [/mm] konvergieren für s>1 und divergieren für [mm] s\le [/mm] 1
[mm] \red{\text{EDIT}}: [/mm] Der Kommentar zu (c) ist Käse, da steht ja [mm] (-1)^{\red{n^2}}und [/mm] nicht [mm] (-1)^{\red{2n}}, [/mm] wie ich das interpretiert habe, also besser mit leduarts Tipp ran 
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Do 30.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n+3)(n-3)}{n^3};[/mm]
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{(n^2)}n^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> Für
> die erste Reihe fand ich das Quotientenkriterium ganz
> passend:
>
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le \theta[/mm] , für eine Zahl 0 <
> [mm]\theta[/mm] < 1.
>
> [mm]|\bruch{2^{n+1}(n+1)^2}{(n+1)n!} \bruch{n!}{2^n n^2}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{2(n+1)^2}{n^2}|[/mm] = [mm]|\bruch{2n^2 + 4n + 2}{n^2}|[/mm] = |2
> + [mm]\bruch{4}{n}[/mm] + [mm]\bruch{2}{n^2}|[/mm] > 1 > [mm]\theta[/mm] für alle n.
>
> Daraus folgt: Die Reihe konvergiert nicht nach
> Quotientenkriterium.
>
> Nun meine Frage: Ist dieser Weg/Gedankengang a) richtig und
> b) bedeutet das, dass die Reihe tatsächlich nicht
> konvergiert? Oder nur nicht nach
>
> dem Quotientenkriterium?
falls du wirklich [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}>1 [/mm] raus hättest, hiesse das ja [mm] a_{n+1} >a_n [/mm] und damit wären die [mm] a_n [/mm] keine Nullfolge, was notwendig ist für Konvergenz!
> Die zweite Reihe habe ich erst einmal umgeformt:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2 - 9}{n^3}[/mm]
>
> Nun schweben mir zwei Lösungswege vor:
Die zweit Reihe eignet sich eigentlich für das Minorantenkriterium. Du zeigst, dass es eine Reihe mit kleineren [mm] a_n [/mm] ab irgend nem festen n gibt, die divergiert.
hier ist [mm] a_n=\bruch{(n+3)(n-3)}{n^3}>\bruch{(n)(n+3)}{n^3}=\bruch{(n+3)}{n^2}>\bruch{(n+3)}{(n+3)^2}=\bruch{1}{n+3}
[/mm]
Damit ist die Reihe größer als [mm] \summe_{n=4}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] und da die divergiert, divergiert sie auch.
Wenn man Divergenz vermutet, ist es fast immer das günstigste das Minorantenkriterium mit 1/n Reihe zu probieren.
zur letzten , überzeug dich, das [mm] (-1)^{n^2}=(-1)^n [/mm] ist- n [mm] gerade-n^2 [/mm] gerade, nunger. [mm] n^2 [/mm] ug,
und dann das Leibnitzkriterium
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Do 30.08.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Okay, dass mit der Reihe hatte ich mir schon soweit zusammengereimt, nur noch nicht in Angriff genommen.
Wenn ich das Leibniz-Kriterium richtig verstehe, muss ich nur noch zeigen, dass die Folge [mm] (n^{-\bruch{1}{2}}) [/mm] eine monoton fallende positive Nullfolge ist.
(wörtlich: "eine monoton fallende folge nicht-negativer Zahlen mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = 0")
Die Nullfolge ist anschaulich klar. Monoton fallend [mm] (a_n \ge a_{n+1}) [/mm] ebenfalls.
Gibt es einen praktischeren Weg, diese zu zeigen, als über Vollständige Induktion?
Sonst würde ich (Induktionsanfang): n=1
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1}} \ge \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
und Induktionsschritt: n --> n+1:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge \bruch{1}{\wurzel{n+2}}
[/mm]
setzen, wie sieht allerdings jetzt der nächste Schritt in der Induktion aus? Ich müsste die Induktionsbedingung heranziehen, allerdings... wie sieht die bei mir aus?
Entschuldigt bitte die verbohrten/trivialen Fragen, aber irgendwie bin ich da etwas blockiert - habe das sprichwörtliche Brett vorm Kopf...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Do 30.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo maraq
Die Monotnie ist ganz einfach:
n+1>n daraus da [mm] \wurzel [/mm] monoton folgt [mm] \wurzel{n+1}>\wurzel{n} [/mm] daraus [mm] 1/\wurzel{n+1}<1/\wurzel{n}.
[/mm]
du kannst auch hinten anfangen, da beide Wurzeln pos sin quadrieren. da das so einfach und selbverständlich ist, darf mans i.A. auch einfach ohne Beweis hinschreiben.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Do 30.08.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Damit ist diese Frage erst einmal abgehakt und ich kann mir (hoffentlich) die Vorgehensweisen verinnerlichen. ;)
Befinde mich grade in der Klausurvorbereitung, deswegen kann es sein, dass die nächsten Tagen noch einige Fragen von mir kommen. ^^
Tausend Dank für eure Hilfen!
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