Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 So 19.02.2006 | | Autor: | elalina |
| Aufgabe | | Geben Sie eine konvergente Reihe an, die nicht absolut konvergent ist. Begründen Sie Ihre Aussage. |
Hallo Zusammen,
Kann mir jemand erklären wie man das macht? Ich weiss einfach nicht wie das geht. Mir fehlt einfach das Grundverständnis dafür. Vielleicht kann mir jemand ja erklären, wann eine Reihe konvergiert und wann sie absolut konvergiert.
In meinen Aufzeichnungen habe ich stehen, dass ich einfach nur Betragsstriche drum machen muss.. Das kann ich mri aber nicht vorstellen :o(
Danke schon mal...
Liebe Grüße ela
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
die Umkehrung deiner Aussage gilt im Allgemeinen. Eine Reihe, die das Gewollte tut, wäre eine harmonische Reihe, die alterniert.
Man betrachte dazu das Beispiel
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n-1}}{n}.
[/mm]
Diese Reihe konvergiert nach Leibniz. Ihr Grenzwert ist übrigens log2. Der Nachweis, dass diese Reihe aber nicht absolut konvergiert ist einfach. Schreibe dir einfach mal die Definition auf und setze ein!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 So 19.02.2006 | | Autor: | elalina |
Hallo :ö)
Danke, dass du mir so schnell geantwortet hast, ich glaube ich weiss es aber immer noch nicht..
Ich würd jetzt mal behaupten dass es eine fallende Nullfolge ist, und deswegen konvergent ist weil ich denke, dass ich es auch so schreiben könnte, nicht schlagen, wenns falsch ist
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} [/mm] \ [mm] (-1)^n*1/n
[/mm]
Und das wäre ja das parade Beispiel für Leibniz aber ganz ehrlich, warum dass so ist kann ich dir immer noch nicht sagen.. Aber vielleicht kannst du es mir erklären..
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Hallo,
sicher kannst du das so schreiben, wenn du im Exponenten noch n-1 schreibst statt n. Damit konvergiert das nach Leibniz!
VG Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 So 19.02.2006 | | Autor: | elalina |
| Aufgabe | | Geben Sie eine konvergente Reihe an, die nicht absolut konvergent ist. |
Hallo Zusammen,
fühl mich heute schon wie Zuhause hier ;o)
Also, zur Rückfrage
konvergent = hat einen Grenzwert
divergent = hat keinen Grenzwert
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} [/mm] . [mm] \bruch{1}{n^43}
[/mm]
Leibniz Kriterium
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} [/mm] * [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{1}{n^43}
[/mm]
Meine Frage, ist das Richtig so? Und muss ich noch was beim Leibniz Kriterium hinzufügen, damiut ich es bewiesen habe?
Danke LG ela
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 So 19.02.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
> konvergent = hat einen Grenzwert
> divergent = hat keinen Grenzwert
Das kann man fast so sagen.
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}[/mm] . [mm]\bruch{1}{n^43}[/mm]
>
> Leibniz Kriterium
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}[/mm] * [mm](-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{1}{n^43}[/mm]
>
> Meine Frage, ist das Richtig so? Und muss ich noch was beim
> Leibniz Kriterium hinzufügen, damiut ich es bewiesen habe?
Das ist eine schlechte Frage. Was willst du denn dadurch erreichen? Da ist weder was falsch, noch was richtig.
Nun zu deiner Aufgabe: du sollst eine Reihe angeben, die (gewöhnlich) konvergent ist, die aber absolut divergent ist (d.h. absolut ist die Reihe nicht konvergent). Das bedeutet Folgendes:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_{i} [/mm] ist konvergent, aber
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} |a_{i}| [/mm] ist divergent.
Schau dir dazu einfach die alternierende harmonische Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n-1}}{n}
[/mm]
an. Du musst zeigen, dass sie konvergent ist,
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} |\bruch{(-1)^{n-1}}{n}|
[/mm]
aber divergent ist.
Gruß,
dormant
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