Konvergenz von Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Sa 26.11.2005 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo zusammen,
ich muss zur Zeit entscheiden, ob und wenn ja gegen welchen Grenzwert folgende Reihe konvergiert:
[mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{k}{(k+1)!} [/mm] (hinweis: k=k+1-1)
Meiner Meinung nach konvergiert diese Reihe gegen s=1, denn:
[mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{k}{(k+1)!} [/mm] =: [mm] S_{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow S_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] , [mm] \bruch{5}{6} [/mm] , [mm] \bruch{23}{24} [/mm] , ...
Mein "Ansatz":
z.zg:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N_{0} \in \IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge N_{0} [/mm] :
| [mm] S_{n} [/mm] - 1 | < [mm] \varepsilon [/mm]
Weiter bin ich leider nicht gekommen. Ähnliche Aufgaben habe ich schon gelöst. Bei diesen habe ich es aber geschafft [mm] S_{n} [/mm] zu "vereinfachen", d.h. z.B.:
[mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{1}{ k^{2} + k} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n + 1}
[/mm]
Diese Ausdrücke habe ich dann zunächst durch vollstaändige Induktion bewiesen und dann durch die Definition von Konvergenz, eine solche ür den Ausdruck und somit für die Reihe bewiesen.
Hoffe ihr habt verstanden was ich meine. Für diese Reihe hatte ich übrigens auch einen Hinweis: 1 = k + 1 - k, welchen ich aber nicht benutzt habe.
Allein deshalb wäre es super, wenn ich mal einen Weg mit Hilfe des Hinweises sehen könnte. Also könnt ihr mir weiterhelfen? DANKE schon mal
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Sa 26.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo oeli
Du bist mit deiner Formel doch schon fast fertig:
Halt du hast ja hier nicht [mm] \bruch{n}{n + 1} [/mm] raus, sondern in nem andern Fall:
> ich muss zur Zeit entscheiden, ob und wenn ja gegen welchen
> Grenzwert folgende Reihe konvergiert:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{k}{(k+1)!}[/mm] (hinweis:
> k=k+1-1)
Der hinweis ist rettend. setz ihn einfach ein:
[mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{k}{(k+1)!}=\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{(k+1)-1}{(k+1)!}=\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{1}{k!}-\bruch{1}{(k+1)!}[/mm] Das ist eine "Teleskopsumme", d.h. fast alles hebt sich raus (wenn dus nicht siehst, schreib die paar ersten Glieder hin) und du hast [mm] 1-\bruch{1}{(n+1)!}
[/mm]
Weiter kannst du ja dann nach deinen Worten selbst N bestimmen
(Das mit den Teleskopsummen ist im Prinzip auch ne vollst. Ind. aber so leicht, dass man i.A. drauf verzichtet.)
> Meiner Meinung nach konvergiert diese Reihe gegen s=1,
> denn:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{k}{(k+1)!}[/mm] =: [mm]S_{n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow S_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] , [mm]\bruch{5}{6}[/mm] ,
> [mm]\bruch{23}{24}[/mm] , ...
>
> Mein "Ansatz":
>
> z.zg:
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists N_{0} \in \IN[/mm] : [mm]\forall[/mm] n
> [mm]\ge N_{0}[/mm] :
>
> | [mm]S_{n}[/mm] - 1 | < [mm]\varepsilon[/mm]
alles r
> Weiter bin ich leider nicht gekommen. Ähnliche Aufgaben
> habe ich schon gelöst. Bei diesen habe ich es aber
> geschafft [mm]S_{n}[/mm] zu "vereinfachen", d.h. z.B.:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{1}{ k^{2} + k}[/mm] = [mm]\bruch{n}{n + 1}[/mm]
>
> Diese Ausdrücke habe ich dann zunächst durch vollstaändige
> Induktion bewiesen und dann durch die Definition von
> Konvergenz, eine solche ür den Ausdruck und somit für die
> Reihe bewiesen.
>
> Hoffe ihr habt verstanden was ich meine. Für diese Reihe
> hatte ich übrigens auch einen Hinweis: 1 = k + 1 - k,
> welchen ich aber nicht benutzt habe.
hier wärs auch ne Teleskopsumme geworden Mit :
[mm] \bruch{1}{k^2+k}=\bruch{k+1 -k}{k(*k+1)}=\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}
[/mm]
> Allein deshalb wäre es super, wenn ich mal einen Weg mit
> Hilfe des Hinweises sehen könnte. Also könnt ihr mir
> weiterhelfen? DANKE schon mal
Da hast du bei der anderen ja dich offensichtlich wirklich
angestrengt. In Zukunft solche Hinweise einfach mal einsetzen, auf die dauer lernt man dann selbst, ohne die Hinweise Teleskopsummen zu basteln.
Gruss leduart
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