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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}} sin(\bruch{\pi*n}{2}) [/mm] |
Hallo zusammen,
gängige Konvergenzkriterien und so weiter sind mir geläufig. Allerdings gehen bei mir jegliche Ansätze nahezu sofort daneben, weil ich mir sehr unsicher im Umgang mit sin(x) bin. Der Sinus so wie er oben ist nimmt ja immer abwechselnd die Werte {-1,0,1} an. Also welche dazwischen werden nicht getroffen. Soweit klar.
Wurzelkriterium scheint mir nicht sehr sinnvoll.
Einziger Ansatz der eventuell hinhauen könnte wäre die Minorante. Wenn man bedenkt, dass der Sinus nicht kleiner als -1 wird könnte man doch eigentlich eine Minorante als [mm] \summe_{n=1}^{\infty}- \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] wählen oder liege ich da falsch?
Somit wäre meine Reihe divergent.
Über nützliche Tipps und Anmerkungen würde ich mich sehr freuen. Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Do 04.02.2016 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}} sin(\bruch{\pi*n}{2})[/mm]
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> Hallo zusammen,
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> gängige Konvergenzkriterien und so weiter sind mir
> geläufig. Allerdings gehen bei mir jegliche Ansätze
> nahezu sofort daneben, weil ich mir sehr unsicher im Umgang
> mit sin(x) bin. Der Sinus so wie er oben ist nimmt ja immer
> abwechselnd die Werte {-1,0,1} an. Also welche dazwischen
> werden nicht getroffen. Soweit klar.
> Wurzelkriterium scheint mir nicht sehr sinnvoll.
> Einziger Ansatz der eventuell hinhauen könnte wäre die
> Minorante. Wenn man bedenkt, dass der Sinus nicht kleiner
> als -1 wird könnte man doch eigentlich eine Minorante als
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}- \bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] wählen oder
> liege ich da falsch?
> Somit wäre meine Reihe divergent.
>
> Über nützliche Tipps und Anmerkungen würde ich mich sehr
> freuen. Danke!
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Hallo,
die Summanden, bei denen der Sinus Null wird, kannst du ignorieren.
Bleiben die, die abwechselnd positiv und negativ werden.
Das schreit nach Leibniz.
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Aaah. Stimmt es ist ja gar keine absolute Konvergenz gefragt.
Das heißt hier kann man den Sinus als [mm] (-1)^n [/mm] auffassen sozusagen und es reicht zu sagen, dass die andere Folge eine monoton fallende Nullfolge ist oder?:)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:00 Fr 05.02.2016 | | Autor: | fred97 |
Die oben vorgelegte Reihe ist nichts anderes als
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{\wurzel{2k+1}}.
[/mm]
Das leinbizt gewaltig ...
FRED
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Okay, danke. Dann ist es ziemlich offensichtlich.
Wie kommt aber die 2k+1 unter die Wurzel? Ändert zwar nichts aber trotzdem..
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Hiho,
na die gerade Glieder sind alle Null und die ungeraden erreichst du über $2k+1$
Gruß,
Gono
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Natürlich...
vielen Dank!
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