Konvergenz von Punktfolgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K [mm] \subset \IR^m [/mm] kompakt, f: K [mm] \to \IR^{m}stetig [/mm] und injektiv, S := f(K), [mm] x_{n} [/mm] eine Punktfolge in K und [mm] y_{n} [/mm] := [mm] f(x_{n}).
[/mm]
Zeigen Sie: Wenn [mm] y_{n} [/mm] gegen ein [mm] y_{0} \in [/mm] S konvergiert, dann konvergiert auch [mm] x_{n} [/mm] gegen ein [mm] x_{0} \in [/mm] K mit [mm] f(x_{0}) [/mm] = [mm] y_{0} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bräuchte mal einen kleinen Denkanstoß, finde zwar, dass die Aufgabe mich nicht wirklich überfordert, jedoch brauch ich erst mal ein Stein der das alles ins Rollen bringt :-( Finde nämlich keinen geeigneten Anfangspunkt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Do 05.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei K [mm]\subset \IR^m[/mm] stetig und injektiv, S := f(K), [mm]x_{n}[/mm]
Das ist leider unvollstaendig: Was ist $f$ fuer eine Funktion, von wo nach wo geht sie? Und ist $K$ eine beliebige Teilmenge? Oder hat sie weitere Eigenschaften (kompakt, abgeschlossen, ...)?
Wenn $f : K [mm] \to \IR^n$ [/mm] ist und $K$ nicht abgeschlossen ist, gibt es uebrigens Gegenbeispiele zur Aussage. (Betrachte $K = [mm] \left[0, 2\pi\right[ \subseteq \IR^1$ [/mm] und $f : K [mm] \to \IR^2$ [/mm] mit $t [mm] \mapsto (\cos [/mm] t, [mm] \sin [/mm] t)$: dies ist stetig und injektiv, aber es gibt eine Folge von [mm] $x_n \in [/mm] K$, deren Grenzwert nicht in $K$ liegt, fuer die [mm] $f(x_n)$ [/mm] jedoch konvergiert gegen einen Wert in $f(K)$. Findest du eine solche Folge?)
LG Felix
> eine Punktfolge in K und [mm]y_{n}[/mm] := [mm]f(x_{n}).[/mm]
> Zeigen Sie: Wenn [mm]y_{n}[/mm] gegen ein [mm]y_{0} \in[/mm] S konvergiert,
> dann konvergiert auch [mm]x_{n}[/mm] gegen ein [mm]x_{0} \in[/mm] K mit
> [mm]f(x_{0})[/mm] = [mm]y_{0}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Bräuchte mal einen kleinen Denkanstoß, finde zwar, dass die
> Aufgabe mich nicht wirklich überfordert, jedoch brauch ich
> erst mal ein Stein der das alles ins Rollen bringt :-(
> Finde nämlich keinen geeigneten Anfangspunkt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Do 05.01.2006 | | Autor: | mathe-gerd |
Ja danke dir hab den Fehler jetzt korrigiert und neu hochgeladen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Do 05.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei K [mm]\subset \IR^m[/mm] kompakt, f: K [mm]\to \IR^{m}stetig[/mm] und
> injektiv, S := f(K), [mm]x_{n}[/mm] eine Punktfolge in K und [mm]y_{n}[/mm]
> := [mm]f(x_{n}).[/mm]
> Zeigen Sie: Wenn [mm]y_{n}[/mm] gegen ein [mm]y_{0} \in[/mm] S konvergiert,
> dann konvergiert auch [mm]x_{n}[/mm] gegen ein [mm]x_{0} \in[/mm] K mit
> [mm]f(x_{0})[/mm] = [mm]y_{0}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Bräuchte mal einen kleinen Denkanstoß, finde zwar, dass die
> Aufgabe mich nicht wirklich überfordert, jedoch brauch ich
> erst mal ein Stein der das alles ins Rollen bringt :-(
> Finde nämlich keinen geeigneten Anfangspunkt
Versuch es doch mal so: Die [mm] $x_n, [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] sind eine Folge in der kompakten Menge $K$. Was kannst du ueber eine solche Folge sagen? Z.B. ueber Haeufungswerte? Falls es solche gibt, sind das schonmal Kanidaten fuer [mm] $x_0$ [/mm] (warum?).
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Fr 06.01.2006 | | Autor: | neli |
Da K kompakt ist gibt es ja zu der Folge [mm] x_n [/mm] eine Teilfolge die gegen einen punkt x' in K konvergiert aber wie zeige ich jetzt dass diese Teilfolge [mm] x_n [/mm] entspricht? Weil wenn ich das gezeigt hätte würde aus der injektivität ja folgen das [mm] x'=x_0 [/mm] ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Fr 06.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Da K kompakt ist gibt es ja zu der Folge [mm]x_n[/mm] eine Teilfolge
> die gegen einen punkt x' in K konvergiert aber wie zeige
> ich jetzt dass diese Teilfolge [mm]x_n[/mm] entspricht? Weil wenn
> ich das gezeigt hätte würde aus der injektivität ja folgen
> das [mm]x'=x_0[/mm] ist
Machs doch per Widerspruch: Angenommen, [mm] $x_n$ [/mm] konvergiert nicht. Dann muss es zwei verschiedene Haeufungspunkte $x'$ und $x''$ in $K$ geben. etc. Dann hilft dir die Injektivitaet auch weiter :)
HTH & LG, Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Geddie |
Wenn du das mit dem Widerspruchsbeweis machen würdest, was hat denn dann der Häufungspunkt damit zu mit den Voraussetzungen?? Der wird doch da gar nicht gebraucht oder sehe ich das falsch?Welche andere Aussagen sollte man denn da noch zum Widerspruch führen außer dem öminösen HP?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Fr 06.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Wenn du das mit dem Widerspruchsbeweis machen würdest, was
> hat denn dann der Häufungspunkt damit zu mit den
> Voraussetzungen?? Der wird doch da gar nicht gebraucht oder
> sehe ich das falsch?Welche andere Aussagen sollte man denn
> da noch zum Widerspruch führen außer dem öminösen HP?
Erstmal dazu, was Haeufungspunkte mit Konvergenz zu tun haben (in kompakten Mengen):
Behauptung: Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Folge in einer kompakten Menge $M$, dann ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] genau dann konvergent, wenn [mm] $(x_n)_n$ [/mm] genau einen Haeufungspunkt hat. (Bemerke, das es immer mindestens einen Haeufungspunkt gibt, da $M$ kompakt ist!)
Beweis: Wenn [mm] $(x_n)_n$ [/mm] konvergent ist und $x$ ein Haeufungspunkt ist, dann muss $x = [mm] \lim_{n\to\infty} x_n$ [/mm] sein, womit es hoechstens einen Haeufungspunkt gibt. Und da der Grenzwert immer ein HP ist gibt es also genau einen.
Hat andersherum [mm] $(x_n)_n$ [/mm] genau einen Haeufungspunkt $x$, so muss dies bereits der Grenzwert sein: Andernfalls konvergiert [mm] $(x_n)_n$ [/mm] nicht und es gibt ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ so, dass unendlich viele Folgenglieder einen Abstand $> [mm] \varepsilon$ [/mm] zu $x$. Diese Folgenglieder bilden eine Teilfolge, die einen Haeufungspunkt haben muss (da sie in der kompakten Menge $M$ liegt); dieser kann nicht $x$ sein, ist aber gleichzeitig ein Haeufungspunkt von [mm] $(x_n)_n$: [/mm] ein Widerspruch!
So, zurueck zur Aufgabe. Wenn du nun annimmst, dass [mm] $(x_n)_n$ [/mm] nicht konvergiert (wenn es konvergiert ist der Grenzwert ja der gesuchte Punkt, wegen der Stetigkeit), dann gibt es also mindestens zwei Haeufungspunkte von [mm] $(x_n)_n$, [/mm] etwa $x'$ und $x''$, und Teilfolgen die dagegen konvergieren. Und jetzt bekommst du einen Widerspruch dadurch, dass du zeigst das $x' = x''$ ist.
(Du kannst auch einen direkten Beweis machen indem du zeigst, dass je zwei Haeufungspunkte gleich sind, womit es hoechstens einen gibt.)
Hilft das weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Sa 07.01.2006 | | Autor: | neli |
ich habe jetzt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n_v) [/mm] = f(x')
und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n_w) [/mm] = f(x'')
kann ich jetzt sagen , dass weil [mm] f(x_n) [/mm] konvergirt und [mm] x_n_v [/mm] und [mm] x_n_w [/mm] Teilfolgen von [mm] x_n [/mm] sind
f(x')=f(x'') sein muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> ich habe jetzt
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n_v)[/mm] = f(x')
> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n_w)[/mm] = f(x'')
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> kann ich jetzt sagen , dass weil [mm]f(x_n)[/mm] konvergirt und
> [mm]x_n_v[/mm] und [mm]x_n_w[/mm] Teilfolgen von [mm]x_n[/mm] sind
> f(x')=f(x'') sein muss?
Exakt: Teilfolgen einer konvergenten Folge konvergieren ebenfalls, und zwar gegen den gleichen Grenzwert wie die komplette Folge.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Sa 07.01.2006 | | Autor: | neli |
endlich 
danke vielmals
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