Konvergenz von Potenzreihen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Di 01.04.2014 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | Seien [mm] (c_{n})_{n \ge n_{0}} [/mm] eine Folge komplexer Zahlen und a [mm] \in \IC; [/mm] ferner konvergiert die Reihe [mm] (\summe_{k=0}^{n} c_{k}(z-a)^{k})_{n \ge 0} [/mm] für ein [mm] z_{1}\in \IC\backslash \{a\}, [/mm] dann konvergiert mit 0 < [mm] \rho [/mm] < [mm] |z_{1}-a| [/mm] die Reihe [mm] (\summe_{k=0}^{n}c_{k}(z-a)^{k})_{n \ge 0} [/mm] für jedes z [mm] \in [/mm] K(a, [mm] \rho):=\{ w \in \IC; |w-a| \le \rho \} [/mm] absolut und mit [mm] f_{n}:K(a, \rho) \rightarrow \IC, [/mm] z [mm] \rightarrow \summe_{k=0}^{n}c_{k}(z-a)^{k} [/mm] für alle n [mm] \in \IN_{0} [/mm] konvergiert die Funktionenfolge [mm] (f_{n})_{n \ge 0} [/mm] gleichmäßig |
Hallo,
ich verstehe obigen Satz aus unserem Skript leider nicht :-(.
1. Frage: warum ist [mm] z_{1}\in\IC [/mm] OHNE a??? Warum Ohne? Wenn das [mm] z_{1}=a [/mm] wäre, dann würde doch 0 dastehen und 0 potenziert ist doch 0 und das ganze MUSS doch konvergieren! Oder??? Also warum steht da OHNE???
2. Frage: Woher kommt dieses [mm] \rho??? [/mm] Was ist dieses [mm] \rho [/mm] überhaupt????
3. Frage: Gibt es irgendwo (bevorzugt Buch) eine einfachere Definition dieses Satzes?????
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Di 01.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ali!
> Seien [mm](c_{n})_{n \ge n_{0}}[/mm] eine Folge komplexer Zahlen und
> a [mm]\in \IC;[/mm] ferner konvergiert die Reihe [mm](\summe_{k=0}^{n} c_{k}(z-a)^{k})_{n \ge 0}[/mm]
> für ein [mm]z_{1}\in \IC\backslash \{a\},[/mm] dann konvergiert mit
> 0 < [mm]\rho[/mm] < [mm]|z_{1}-a|[/mm] die Reihe
> [mm](\summe_{k=0}^{n}c_{k}(z-a)^{k})_{n \ge 0}[/mm] für jedes z [mm]\in[/mm]
> K(a, [mm]\rho):=\{ w \in \IC; |w-a| \le \rho \}[/mm] absolut und mit
> [mm]f_{n}:K(a, \rho) \rightarrow \IC,[/mm] z [mm]\rightarrow \summe_{k=0}^{n}c_{k}(z-a)^{k}[/mm]
> für alle n [mm]\in \IN_{0}[/mm] konvergiert die Funktionenfolge
> [mm](f_{n})_{n \ge 0}[/mm] gleichmäßig
> ich verstehe obigen Satz aus unserem Skript leider nicht
> :-(.
> 3. Frage: Gibt es irgendwo (bevorzugt Buch) eine einfachere
> Definition dieses Satzes?????
(Du meinst eine einfachere FORMULIERUNG des Satzes.)
Stark vereinfachen lässt sich die Aussage wohl nicht, aber etwas:
Seien [mm](c_{n})_{n \ge n_{0}}[/mm] eine Folge komplexer Zahlen und a [mm]\in \IC;[/mm] ferner konvergiere die Reihe [mm](\summe_{k=0}^{n} c_{k}(z-a)^{k})_{n \ge 0}[/mm] für ein [mm]z_{1}\in \IC\backslash \{a\}[/mm].
1. Dann konvergiert die Reihe [mm](\summe_{k=0}^{n}c_{k}(z-a)^{k})_{n \ge 0}[/mm] für jedes [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit [mm] $|z-a|<|z_1-a|$.
[/mm]
(Teil 2. folgt noch.)
Es geht also um die Frage, für welche [mm] $z\in\IC$ [/mm] die Potenzreihe [mm] $(\summe_{k=0}^{n}c_{k}(z-a)^{k})_{n \ge 0}$ [/mm] konvergiert.
Du hast richtig beobachtet, dass sie für $z=a$ immer konvergiert.
(Zwar ist [mm] $0^0:=1$, [/mm] aber für alle $k>0$ ist in der Tat [mm] $0^k=0$ [/mm] und somit konvergiert die Potenzreihe im Falle $z=a$ gegen [mm] $c_0$.)
[/mm]
Es gibt Fälle, in denen die Potenzreihe nur für $z=a$ konvergiert.
Im vorliegenden Satz wird der Fall näher untersucht, dass es mindestens ein [mm] $z_1\not=a$ [/mm] gibt, für das die Potenzreihe ebenfalls konvergiert.
Zeichne dir nun auf ein Blatt Papier, das für die komplexe Zahlenebene stehen soll, zwei verschiedene Punkte $a$ und [mm] $z_1$ [/mm] ein.
Nun sagt der Satz, dass für alle [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit [mm] $|z-a|<|z_1-a|$ [/mm] die Potenzreihe ebenfalls konvergiert (und zwar sogar absolut).
Was bedeutet [mm] $|z-a|<|z_1-a|$ [/mm] geometrisch? Der Abstand von $z$ zu $a$ ist kleiner als der Abstand von [mm] $z_1$ [/mm] zu $a$. Wenn wir letzteren Abstand mit $r$ abkürzen (also [mm] $r:=|z_1-a|>0$ [/mm] setzen), so bedeutet die Bedingung [mm] $|z-a|<|z_1-a|$ [/mm] gerade, dass der Abstand von $z$ zu $a$ kleiner $r$ ist. Das wiederum bedeutet, dass $z$ im Inneren des Kreises um $a$ vom Radius $r$ liegt.
Die Punkte [mm] $z\in\IC$, [/mm] für die der Satz eine Konvergenzaussage trifft, sind also die Punkte, die im Inneren des Kreises vom Radius $r$ um den Punkt $a$ liegen.
Zeichne also den Kreis um $a$, dessen Radius dem Abstand von [mm] $z_1$ [/mm] zu $a$ entspricht. Das ist also der Kreis um $a$, der durch [mm] $z_1$ [/mm] geht.
Im Inneren dieses Kreises konvergiert die Potenzreihe also in jedem Fall (und zwar sogar absolut).
Jetzt komme ich zu Teil 2 des Satzes, in dem es um gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen geht.
Sei $I$ die Menge der Punkte im Kreisinneren des eben betrachteten Kreises, also
[mm] $I:=\{z\in\IC\;|\;|z-a|<|z_1-a|\}$.
[/mm]
Sei
[mm] $g_n\colon I\to\IR,\quad z\mapsto \summe_{k=0}^{n}c_{k}(z-a)^{k}$
[/mm]
für jedes [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
[mm] $g_n$ [/mm] ordnet also jedem [mm] $z\in\IC$, [/mm] für das Teil 1. eine Konvergenzaussage gemacht hat, die n-te Partialsumme der zugehörigen konvergenten Potenzreihe zu.
Wir wissen nach Teil 1., dass die Funktionenfolge [mm] $(g_n)_{n\in\IN}$ [/mm] punktweise konvergiert.
Die Frage ist nun: Konvergiert diese Funktionenfolge auch gleichmäßig?
Antwort: Im Allgemeinen nein.
Jetzt kann man genauer nachfragen: Konvergieren zumindest Einschränkungen dieser Funktionenfolge gleichmäßig?
Der zweite Teil des Satzes gibt nun eine positive Antwort:
2. Sei [mm] $0<\rho<|z_1-a|$. [/mm] Sei [mm] $K(a,\rho):=\{ z \in \IC; |z-a| \le \rho \}$ [/mm] und [mm]f_{n}:K(a, \rho) \rightarrow \IC,[/mm] z [mm]\rightarrow \summe_{k=0}^{n}c_{k}(z-a)^{k}[/mm] für alle n [mm]\in \IN_{0}[/mm].
Dann konvergiert die Funktionenfolge [mm](f_{n})_{n \ge 0}[/mm] gleichmäßig.
[mm] $K(a,\rho)$ [/mm] entspricht der Vereinigung des Inneren und des Randes des Kreises um $a$ vom Radius [mm] $\rho$.
[/mm]
[mm] $\rho<|z_1-a|$ [/mm] bedeutet, dass der Radius dieses Kreises kleiner als der Radius des von dir schon gezeichneten Kreises ist.
Zeichne also um $a$ einen weiteren Kreis von kleinerem Radius, den wir [mm] $\rho$ [/mm] nennen.
[mm] $f_n$ [/mm] ist nun die Einschränkung von [mm] $g_n$ [/mm] auf [mm] $K(a,\rho)$. [/mm] Und die Folge dieser Einschränkungen konvergiert in der Tat gleichmäßig.
> 1. Frage: warum ist [mm]z_{1}\in\IC[/mm] OHNE a??? Warum Ohne? Wenn
> das [mm]z_{1}=a[/mm] wäre, dann würde doch 0 dastehen und 0
> potenziert ist doch 0 und das ganze MUSS doch konvergieren!
> Oder??? Also warum steht da OHNE???
Der Satz ist aus trivialen Gründen auch für [mm] $z_1=a$ [/mm] richtig, aber dann liefert er nichts Interessantes.
Wenn [mm] $z_1=a$ [/mm] ist, konvergiert die Potenzreihe auf jeden Fall für [mm] $z_1$. [/mm] Aber wir wissen nichts darüber, ob sie auch für Werte [mm] $z\not=a$ [/mm] konvergiert.
Der Satz sagt aber: WENN wir die Konvergenz in EINEM Punkt [mm] $z_1\not=a$ [/mm] wissen, dann können wir die Konvergenz in ganz vielen weiteren Punkten [mm] $z\in\IC$ [/mm] folgern.
> 2. Frage: Woher kommt dieses [mm]\rho???[/mm] Was ist dieses [mm]\rho[/mm]
> überhaupt????
Formal: Eine beliebige reelle Zahl mit [mm] $0<\rho<|z_1-a|$.
[/mm]
Geometrisch: Der Radius des kleineren Kreises auf deinem Zeichenblatt.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:28 Fr 04.04.2014 | | Autor: | piriyaie |
Vielen Vielen Dank Tobi 
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