Konvergenz von Funktionenfolge < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:18 Fr 26.11.2010 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | Seien Y ein vollständiger metrischer Raum, X ein topologischer Raum, D in X dicht. Sei [mm] [f_{n}; [/mm] n [mm] \in [/mm] N] [mm] \subseteq Y^{X} [/mm] gleichgradig stetig, und [mm] limf_{n}(x) [/mm] (n gegen Unendlich) existiere für alle x [mm] \in [/mm] D.
a) Zeige, dass [mm] (f_{n}) [/mm] punktweise gegen eine stetige Funktion f : X [mm] \to [/mm] Y konvergiert.
b) Sei zusätzlich X kompakt. Zeige, dass dann [mm] (f_{n}) [/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert. |
Na ja, ich habe keine Achnung, wie ich das beweisen soll.
Ich habe versucht irgendwie mit Satz von Baire (Y ist ein vollständiger metrischer Raum) und Satz von Arzela-Ascoli anfangen, leider ohne Erfolg (ich habe Fortssetzungssatz von Arzela-Ascoli gefunden, ohne Beweis:
Punktweise Konvergenz einer gleichgradig stetigen Folge von Funktionen auf einer dichten Teilmenge des Definitionbereiches setzt sich zu gleichmäßiger Konvergenz auf dem ganzen Definitionsbereich fort).
Die Unterschied zwischen punktweise und gleichmäßige Konvergenz ist mir bekannt.
Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand mir einen Tipp geben könnte :).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Mi 01.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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