Konvergenz von Folgen/Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche auf Konvergenz
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] (\vektor{n\\ 2})^{2}/(\vektor{n\\ 4}) [/mm] |
(Ich hoffe er zeigt es richtig an :P )
Also ich schreibe am Mittwoch meine Analysis I-Klausur und versuche jetzt gerade einige Aufgaben (das ist eine Klausuraufgabe vom letzten Jahr) durch zu rechnen. Dabei bin ich mir bei dieser konkreten nicht sicher, also mein Ansatz war erstmal einen Grenzwert zu berechnen. Dabei habe ich nach einigen Termumformungen folgendes stehen gehabt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (6/((n-2)!(n-3)(n-2))) = 0 = a
Jetzt wollte ich das mittels Definition beweisen, also [mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
=> [mm] |a_{n}-0| [/mm] = [mm] |a_{n}| [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] (weil [mm] a_{n} [/mm] ja immer positiv sein müsste oder?)
Und jetzt weiß ich nicht genau, wie ich weiter machen soll. Nach Def. müsste ich ja jetzt ein [mm] N_{\varepsilon} [/mm] bestimmen, für welches gilt:
n [mm] \ge N_{\varepsilon} [/mm] => [mm] a_{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
Aber wie wähle ich dieses [mm] N_{\varepsilon} [/mm] jetzt? :O
Danke schon einmal im vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo arthipaul und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Untersuche auf Konvergenz
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm](\vektor{n\\
2})^{2}/(\vektor{n\\
4})[/mm]
> (Ich hoffe
> er zeigt es richtig an :P )
>
> Also ich schreibe am Mittwoch meine Analysis I-Klausur und
> versuche jetzt gerade einige Aufgaben (das ist eine
> Klausuraufgabe vom letzten Jahr) durch zu rechnen. Dabei
> bin ich mir bei dieser konkreten nicht sicher, also mein
> Ansatz war erstmal einen Grenzwert zu berechnen. Dabei habe
> ich nach einigen Termumformungen folgendes stehen gehabt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (6/((n-2)!(n-3)(n-2))) = 0 = a
Zeige mal die Rechnung dazu!
Ich erhalte [mm]\frac{\vektor{n\\
2}^2}{\vektor{n\\
4}}=\frac{\left(\frac{n(n-1)}{2}\right)^2}{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}}=\frac{n^2(n-1)^2}{4}\cdot{}\frac{24}{n(n-1)(n-2)(n-3)}[/mm]
Nun "sieht" man, dass [mm]1\cdot{}n^4[/mm] als höchste Potenz von n in Zähler und Nenner steht, das Ganze also für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm]\frac{24}{4}=6[/mm] strebt ...
>
> Jetzt wollte ich das mittels Definition beweisen,
Wenn das nicht sein muss, würde ich das lassen. Wozu gibt es schließlich die Grenzwertsätze?
> also
> [mm]|a_{n}-a|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> => [mm]|a_{n}-0|[/mm] = [mm]|a_{n}|[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] (weil [mm]a_{n}[/mm]
> ja immer positiv sein müsste oder?)
>
> Und jetzt weiß ich nicht genau, wie ich weiter machen
> soll. Nach Def. müsste ich ja jetzt ein [mm]N_{\varepsilon}[/mm]
> bestimmen, für welches gilt:
>
> n [mm]\ge N_{\varepsilon}[/mm] => [mm]a_{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Aber wie wähle ich dieses [mm]N_{\varepsilon}[/mm] jetzt? :O
Du müsstest in einer Nebenrechnung auf dem Schmierblatt [mm]|a_n-a|=|a_n-6|[/mm] geschickt abschätzen.
Dazu gleichnamig machen und großzügig wegschätzen ...
>
> Danke schon einmal im vorraus!
Das kleine "voraus" ist ganz bescheiden und kommt mit einem "r" aus, genau wie auch "heraus" ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Danke für die schnelle Antwort! :)
Also meine Rechnung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\vektor{n \\ 2}^{2}}{\vektor{n \\ 4}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{n!}{2*(n-2)!}^{2}}{\bruch{n!}{24*(n-4)!}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n!}{4*(n-2)!^{2}}*\bruch{24*(n-4)!}{n!}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6*(n-4)!}{(n-2)!^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6*(n-4)!}{(n-2)!(n-4)!(n-3)(n-2)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6}{(n-2)!(n-3)(n-2)} [/mm] = [mm] \bruch{6}{\infty * \infty * \infty} [/mm] = 0 = a
Ah, hab grad meinen Fehler gesehen! Ich habe beim kürzen ein n! vergessen! :P Die berichtigte Rechnung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\vektor{n \\ 2}^{2}}{\vektor{n \\ 4}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{n!}{2*(n-2)!}^{2}}{\bruch{n!}{24*(n-4)!}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n!^{2}}{4*(n-2)!^{2}}*\bruch{24*(n-4)!}{n!}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6*(n-4)!*n!^{2}}{(n-2)!^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6*(n-4)!*n!^{2}}{(n-2)!(n-4)!(n-3)(n-2)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6*n!^{2}}{(n-2)!(n-3)(n-2)}
[/mm]
Es ist nicht explizit gesagt, dass wir mit der Def. arbeiten müssen. Was meinst du mit Grenzwertsätzen? (Kann meine Aufzeichnungen und die Folie zur Vorlesung gerade nicht ausfindig machen :P )
Gruß Paul!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Sa 16.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Danke für die schnelle Antwort! :)
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> Also meine Rechnung:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\vektor{n \\
2}^{2}}{\vektor{n \\
4}}[/mm]
>
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{n!}{2*(n-2)!}^{2}}{\bruch{n!}{24*(n-4)!}}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n!}{4*(n-2)!^{2}}*\bruch{24*(n-4)!}{n!})[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6*(n-4)!}{(n-2)!^{2}}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6*(n-4)!}{(n-2)!(n-4)!(n-3)(n-2)}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6}{(n-2)!(n-3)(n-2)}[/mm] =
> [mm]\bruch{6}{\infty * \infty * \infty}[/mm] = 0 = a
>
> Ah, hab grad meinen Fehler gesehen! Ich habe beim kürzen
> ein n! vergessen! :P Die berichtigte Rechnung:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\vektor{n \\
2}^{2}}{\vektor{n \\
4}}[/mm]
>
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{n!}{2*(n-2)!}^{2}}{\bruch{n!}{24*(n-4)!}}[/mm]
Da fehlt eine Klammer um den Zähler des Doppelbruchs.
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n!^{2}}{4*(n-2)!^{2}}*\bruch{24*(n-4)!}{n!})[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6*(n-4)!*n!^{2}}{(n-2)!^{2}}[/mm]
Nach dem Kürzen von $n!^2$ darf im Zähler nur noch $n!$ stehen.
Gruß Abakus
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6*(n-4)!*n!^{2}}{(n-2)!(n-4)!(n-3)(n-2)}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6*n!^{2}}{(n-2)!(n-3)(n-2)}[/mm]
>
>
> Es ist nicht explizit gesagt, dass wir mit der Def.
> arbeiten müssen. Was meinst du mit Grenzwertsätzen? (Kann
> meine Aufzeichnungen und die Folie zur Vorlesung gerade
> nicht ausfindig machen :P )
>
> Gruß Paul!
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Ja, ist durch copy und paste zustande gekommen, berichtigt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\vektor{n \\ 2}^{2}}{\vektor{n \\ 4}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{n!}{2*(n-2)!}^{2}}{\bruch{n!}{24*(n-4)!}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n!^{2}}{4*(n-2)!^{2}}*\bruch{24*(n-4)!}{n!}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6*(n-4)!*n!}{(n-2)!^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6*(n-4)!*n!}{(n-2)!(n-4)!(n-3)(n-2)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6*n!}{(n-2)!(n-3)(n-2)}
[/mm]
(Edit: Ich habe jetzt auch gesehen, dass die Folge gegen 6 geht, danke! :) )
Weiterhin, was meinst du mit Grenzwertsätzen? Bzw. welchen kann ich den ganz konkret hier einsetzen? :O
Gruß Paul!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Sa 16.02.2013 | | Autor: | fred97 |
http://www.mathematrix.de/funktionen/die-grenzwertsatze
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Sa 16.02.2013 | | Autor: | arthipaul |
In Ordnung, danke! :)
Den Rest versuche ich jetzt noch hinzubekommen... ;)
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