Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Sa 25.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Konstruieren Sie zwei Folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \infty [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] = 0, um jede der folgenden Möglichkeiten zu realisieren:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_n [/mm] * [mm] b_n) [/mm] = [mm] \infty [/mm] ,
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_n [/mm] * [mm] b_n) [/mm] = c für eine gegebene Konstante c [mm] \in \IR,
[/mm]
c) [mm] (a_n [/mm] * [mm] b_n) [/mm] ist beschränkt aber nicht konvergent. |
Hallo.
Für [mm] (a_n) [/mm] habe ich die Folge [mm] n^3 [/mm] und für [mm] (b_n) [/mm] habe ich [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] gewählt.
(a) Dass die Folge gegen [mm] \infty [/mm] läuft, ist mir klar, die Folgeglieder werden immer größer, genauer gesagt immer um 1 größer für steigendes n. Ich weiß nur nicht, wie ich das als mathematischen Beweis zeigen kann.
(b) Was ist c [mm] \in \IR? [/mm] Wir hatten das in der Vorlesung nicht und im Internet finde ich nur konstante Folgen aber keine Konstante...
(c) Das Produkt soll beschränkt aber nicht konvergent sein.
Ausgehend von meinen Aufgaben kommt das nicht zustande. Da wird das Produkt beider Folgen letztlich immer ins unendliche laufen. Aber auch so ist doch eine beschränkte Folge automatisch konvergent.
(c) wird also immer in einem Widerspruch enden, wenn eine Folge gegen null konvergiert und die andere gegen [mm] \infty, [/mm] weil es hier kein sup geben kann.
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Hallo,
> Konstruieren Sie zwei Folgen [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = [mm]\infty[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_n[/mm] = 0, um jede der folgenden
> Möglichkeiten zu realisieren:
>
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_n[/mm] * [mm]b_n)[/mm] = [mm]\infty[/mm] ,
>
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_n[/mm] * [mm]b_n)[/mm] = c für eine
> gegebene Konstante c [mm]\in \IR,[/mm]
>
> c) [mm](a_n[/mm] * [mm]b_n)[/mm] ist beschränkt aber nicht konvergent.
> Hallo.
>
>
> Für [mm](a_n)[/mm] habe ich die Folge [mm]n^3[/mm] und für [mm](b_n)[/mm] habe ich
> [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] gewählt.
>
> (a) Dass die Folge gegen [mm]\infty[/mm] läuft, ist mir klar, die
> Folgeglieder werden immer größer, genauer gesagt immer um
> 1 größer für steigendes n. Ich weiß nur nicht, wie ich
> das als mathematischen Beweis zeigen kann.
Multipliziere und Kürze!
>
> (b) Was ist c [mm]\in \IR?[/mm] Wir hatten das in der Vorlesung
> nicht und im Internet finde ich nur konstante Folgen aber
> keine Konstante...
Das ist einfach ein Grenzwert, der nicht notwendigerweise gleich Null sein muss.
>
> (c) Das Produkt soll beschränkt aber nicht konvergent
> sein.
> Ausgehend von meinen Aufgaben kommt das nicht zustande. Da
> wird das Produkt beider Folgen letztlich immer ins
> unendliche laufen. Aber auch so ist doch eine beschränkte
> Folge automatisch konvergent.
>
> (c) wird also immer in einem Widerspruch enden, wenn eine
> Folge gegen null konvergiert und die andere gegen [mm]\infty,[/mm]
> weil es hier kein sup geben kann.
Nimm bei c) die für b) gefundene Folge und baue noch ein alternierendes Vorzeichen ein.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 So 26.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Okay, bei (a) würde das so aussehen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] (a_n) [/mm] * [mm] (b_n)) [/mm] = [mm] \infty [/mm]
=> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] n^3 [/mm] * [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] )
[mm] n^3 [/mm] * [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] = [mm] \bruch{n^3}{n^2} [/mm] = n
und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (n) = [mm] \infty
[/mm]
Das mit (b) versteh ich immer noch nicht... Es soll ein Grenzwert sein, nicht zwingend 0 und bei (c) schreibst du, dass ich die bei b gefundene Folge nehmen soll....
ist c [mm] \in \IR [/mm] nun ein Grenzwert oder eine Folge?
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Hallo,
> Okay, bei (a) würde das so aussehen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm](a_n)[/mm] * [mm](b_n))[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
> => [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]n^3[/mm] * [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] )
>
> [mm]n^3[/mm] * [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] = [mm]\bruch{n^3}{n^2}[/mm] = n
>
> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (n) = [mm]\infty[/mm]
>
>
Das ist zwar noch ziemlich holprig aufgeschrieben, aber ich glaube, es ist dir klar.
> Das mit (b) versteh ich immer noch nicht... Es soll ein
> Grenzwert sein, nicht zwingend 0 und bei (c) schreibst du,
> dass ich die bei b gefundene Folge nehmen soll....
>
> ist c [mm]\in \IR[/mm] nun ein Grenzwert oder eine Folge?
>
Die Frage ist schon etwas merkwürdig. In deiner Frage schreibst du:
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (a_n*b_n)=c[/mm]
Was soll das denn anderes sein als ein Grenzwert?
Untersuche mal, was für
[mm] a_n=n
[/mm]
[mm] b_n=\bruch{1}{n}
[/mm]
passiert...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 So 26.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Da kommt immer 1 raus, egal für welches n aber was soll mir das zeigen? Dass der Grenzwert 1 ist?
Was kan ich damit anfangen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 So 26.05.2013 | | Autor: | abakus |
> Da kommt immer 1 raus, egal für welches n aber was soll
> mir das zeigen? Dass der Grenzwert 1 ist?
>
> Was kan ich damit anfangen?
Hallo,
was ist denn, wenn du statt [mm] $n*\frac{1}{n}$ [/mm] so etwas verwendest wie
[mm] $n*\frac{5}{n}$ , $n*\frac{-3}{n}$ , [/mm] ...
Da geht immer noch ein Faktor gegen unendlich und der andere gegen Null, es existiert auch ein Grenzwert, aber der ist NICHT 1.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 So 26.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Bei [mm] n*\frac{5}{n} [/mm] kommt immer 5 raus.
und
bei [mm] n*\frac{-3}{n} [/mm] kommt immer -3 raus.
Also ist c ein konstanter Wert, der immer rauskommt, egal welches n eingesetzt wird?
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Hallo Kraitos,
> Bei [mm]n*\frac{5}{n}[/mm] kommt immer 5 raus.
>
> und
>
> bei [mm]n*\frac{-3}{n}[/mm] kommt immer -3 raus.
>
>
> Also ist c ein konstanter Wert, der immer rauskommt, egal
> welches n eingesetzt wird?
Ja, und das reicht doch für die Aufgabe.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 So 26.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Schön. 
Bei (c) meinte Diophant, dass ich einfach nur ein alternierendes Vorzeichen einbauen muss in die Folgen bei (b).
Nehme ich die Folgen [mm] (a_n) [/mm] = n und [mm] (b_n) [/mm] = [mm] \bruch{5}{n}
[/mm]
Um eine beschränkte, nicht konvergente Folge zu erhalten, würde ich dann [mm] (a_n) [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] * n wählen und das ganze geht auf.
Ich habe eine nach unten und oben beschränkte Folge, die nicht konvergent ist.
Vielen Dank für die Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 So 26.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Das sollte nicht als Frage erscheinen, sorry...
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Hallo,
> Schön.
>
> Bei (c) meinte Diophant, dass ich einfach nur ein
> alternierendes Vorzeichen einbauen muss in die Folgen bei
> (b).
>
> Nehme ich die Folgen [mm](a_n)[/mm] = n und [mm](b_n)[/mm] = [mm]\bruch{5}{n}[/mm]
>
>
> Um eine beschränkte, nicht konvergente Folge zu erhalten,
> würde ich dann [mm](a_n)[/mm] = [mm](-1)^n[/mm] * n wählen und das ganze
> geht auf.
>
Nein, geht es nicht. Denn so ist dein [mm] a_n [/mm] nicht beschränkt. Verpasse das alternierende Vorzeichen der anderen Folge, also etwa
[mm] b_n=\bruch{(-1)^n}{n}
[/mm]
und dann geht es wirklich auf.
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Aber das ist ja in der Aufgabe nicht gefordert, nur das
> [mm](a_n)[/mm] -> [mm]\infty[/mm] gehen soll. Und das würde es ja mit [mm](-1)^n[/mm]
> davor.
Nein würde es nicht. Schau dir mal die Definition von konvergenten Folgen genauer an und überleg warum.
Nimm wie Diophant vorgeschlagen hat ein alternierendes Vorzeichen bei der Folge die gegen 0 konvergieren soll. z.B. [mm] \frac{(-1)^n}{n}.
[/mm]
Gruß helicopter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 So 26.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Na (c) fordert doch, eine beschränkte, nicht konvergente Folge.
Wenn ich nun [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] ((-1)^n [/mm] * n) und [mm] (b_n) [/mm] mit [mm] \bruch{x}{n} [/mm] wähle, ergibt das doch eine beschränkte, nichtkonvergente Folge, da
[mm] ((-1)^n [/mm] * n) * [mm] \bruch{x}{n} [/mm] ergibt [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -x, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
wobei [mm] x\in \IR [/mm] fest aber beliebig gewählt wird.
Dann ist x sup der Folge und -x inf der Folge. Somit ist die Folge wie gefordert beschränkt aber nicht konvergent.
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Hallo Kraitos,
> Na (c) fordert doch, eine beschränkte, nicht konvergente
> Folge.
>
> Wenn ich nun [mm](a_n)[/mm] mit [mm]((-1)^n[/mm] * n) und [mm](b_n)[/mm] mit
> [mm]\bruch{x}{n}[/mm] wähle, ergibt das doch eine beschränkte,
> nichtkonvergente Folge, da
>
> [mm]((-1)^n[/mm] * n) * [mm]\bruch{x}{n}[/mm] ergibt [mm]\begin{cases} x, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -x, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> wobei [mm]x\in \IR[/mm] fest aber beliebig gewählt wird.
>
> Dann ist x sup der Folge und -x inf der Folge. Somit ist
> die Folge wie gefordert beschränkt aber nicht konvergent.
Das stimmt, aber die Forderung [mm] a_n\to\infty [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] ist nicht erfüllt!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mo 27.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Ist das in der Aufgabe denn gefordert?
Ich meine, n -> [mm] \infty [/mm] und n -> - [mm] \infty [/mm] mit der Vorschrift. Ich schränke doch mein n hiermit in keiner Weise ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Mo 27.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ist das in der Aufgabe denn gefordert?
>
> Ich meine, n -> [mm]\infty[/mm] und n -> - [mm]\infty[/mm] mit der
> Vorschrift. Ich schränke doch mein n hiermit in keiner
> Weise ein?
Du hattest
$ [mm] a_n= (-1)^n [/mm] * n$
Dann ist [mm] $(a_n)=(-1,2,-3,4,-5,6,....)$
[/mm]
Es gilt nicht (!) [mm] a_n \to \infty [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] !
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 So 26.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Wobei ich doch nochmal eine kurze Frage habe zu (b).
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ((a_n) [/mm] * [mm] (b_n)) [/mm] = c für eine gegebene Konstante c [mm] \in \IR
[/mm]
Heißt das, ich muss von hinten argumentieren, also mir erst die Konstante "ausdenken" und dann zeigen, dass diese als Folge dargestellt werden kann oder soll ich 2 Folgen zeigen, die immer die Konstante als Ergebnis haben?
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Hallo,
> Wobei ich doch nochmal eine kurze Frage habe zu (b).
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ((a_n)[/mm] * [mm](b_n))[/mm] = c für eine
> gegebene Konstante c [mm]\in \IR[/mm]
>
> Heißt das, ich muss von hinten argumentieren, also mir
> erst die Konstante "ausdenken" und dann zeigen, dass diese
> als Folge dargestellt werden kann oder soll ich 2 Folgen
> zeigen, die immer die Konstante als Ergebnis haben?
Du denkst viel zu kompliziert. Die Forderung ist, dass der Grenzwert der beiden Folgen eine reelle Zahl ist, mehr nicht. Die Tatsache, dass bei den vorgeschlagenen Beispielen das Produkt konstant ist, hat doch nur einen einzigen Grund: weil diese Art von Lösung hier die einfachste ist. Wenn du es komplizierter haben möchtest, bitte:
[mm] a_n=n^{157}
[/mm]
[mm] b_n=2^{-n}-\bruch{1}{n^{157}}
[/mm]
Gruß, Diophant
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