Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Lukas147 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folgenden Reihen auf Konvergenz :
(1) [mm] \sum_{n=1}^{\infty} [/mm] n²*(n/(n+1)^(n²)
(2) [mm] \sum_{n=1}^{\infty} (n- \wurzel{n})/ (n+\wurzel{n})^2 [/mm] |
Hallo ,
habe folgende Aufgaben zu Lösen.
Zur (1) :
Hier habe ich das Wurzelkriterium angewandt , wobei ich dann auf
[mm] (\wurzel[n]{n})^2 [/mm] * [mm] (n/(n+1)^n [/mm] komme, was gegen 1 * 1/e konvergiert, und damit die Reihe konvergent ist.
Zur (2 ) :
Hier habe ich so meine Probleme das richtige Kriterium zu finden . Gibt es hier irgendwelche hinweise?
lg Lukas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lukas147,
> Untersuchen Sie die Folgenden Reihen auf Konvergenz :
>
> (1) [mm]\sum_{n=1}^{\infty}[/mm] n²*(n/(n+1)^(n²)
>
> (2) [mm]\sum_{n=1}^{\infty} (n- \wurzel{n})/ (n+\wurzel{n})^2[/mm]
>
> Hallo ,
>
> habe folgende Aufgaben zu Lösen.
> Zur (1) :
> Hier habe ich das Wurzelkriterium angewandt ,
guter Plan!
> wobei ich
> dann auf
> [mm](\wurzel[n]{n})^2[/mm] * [mm](n/(n+1)^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
komme, was gegen 1 * 1/e
> konvergiert, und damit die Reihe konvergent ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zur (2 ) :
> Hier habe ich so meine Probleme das richtige Kriterium zu
> finden . Gibt es hier irgendwelche hinweise?
Wenn du dir mal $\frac{n-\sqrt{n}}{(n+\sqrt{n})^2$ anschaust, so verhält sich das doch für große $n$ wie $\frac{1}{n}$
Da liegt es doch nahe, Divergenz zu vermuten.
Probiere mal, ob du eine divergente Minorante finden kannst ...
>
> lg Lukas
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Lukas147 |
Hallo,
Hab mir da meine Gedanken gemacht und würde (n- [mm] \wurzel{n})/(n+ \wurzel{n})^2 [/mm] folgendermaßen abschätzen :
(n- [mm] \wurzel{n})/(n+ \wurzel{n})^2 [/mm] > 1/( [mm] n+ \wurzel{n}) [/mm] = 1/ [mm] \wurzel{n} [/mm] * [mm] 1/(\wurzel{n}+1)
[/mm]
da sowohl [mm] 1/\wurzel{n} [/mm] als auch [mm] 1/(\wurzel{n}+1) [/mm] divergent sind , ist auch die reihe divergent.
Stimmt das so?
lg Lukas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Hab mir da meine Gedanken gemacht und würde (n-
> [mm] \wurzel{n})/(n+ \wurzel{n})^2[/mm] folgendermaßen abschätzen
> :
>
> (n- [mm] \wurzel{n})/(n+ \wurzel{n})^2[/mm] > 1/( [mm]n+ \wurzel{n})[/mm] = 1/ [mm]\wurzel{n}[/mm] * [mm]1/(\wurzel{n}+1)[/mm]
wieso sollte sowas gelten? Ich meine, es gilt doch
[mm] $$\frac{n-\sqrt{n}}{(n+\sqrt{n})^2} [/mm] > [mm] \frac{1}{1+\sqrt{n}}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \frac{n-\sqrt{n}}{n+\sqrt{n}} [/mm] > 1$$
[mm] $$\gdw n-\sqrt{n} [/mm] > [mm] n+\sqrt{n}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw -\sqrt{n} [/mm] > [mm] \sqrt{n}\,.$$
[/mm]
Tja, weil letzte Ungleichung sicher für alle $n [mm] \in \IN=\IN \setminus \{0\}$ [/mm] falsch ist, bringst Dir nichts, wenn Du aus ihr die Behauptung folgerst ("aus was falschem folgt alles" sagt man meistens in der Mathematik) - und umgekehrt zeigt die obige Rechnung: Wenn Du auch nur ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] finden könntest, dass die (oberste) Ungleichung erfüllt, würde es auch die falsche Aussage [mm] $-\sqrt{n} [/mm] > [mm] \sqrt{n}$ [/mm] erfüllen. Also gilt Deine behauptete Ungleichung für keine natürliche Zahl (ohne Null).
> da sowohl [mm]1/\wurzel{n}[/mm] als auch [mm]1/(\wurzel{n}+1)[/mm] divergent
> sind , ist auch die reihe divergent.
Auch das Argument ist Quatsch. 1.) Du kannst nicht sagen, dass [mm] $a_n$ [/mm] (besser: [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$) [/mm] divergent sei, wenn Du eigentlich meinst, dass [mm] $\sum_n a_n$ [/mm] divergent ist:
Dann musst Du schon sagen, dass "die Reihe über [mm] $1/\sqrt{n}$ [/mm] divergent ist".
Denn "die Folge [mm] $1/\sqrt{n}$" [/mm] ist eine Nullfolge, also alles andere als divergent.
> Stimmt das so?
Selbst, wenn man Dir Deinen verbalen Ausrutscher verzeiht: Nein!! Das liegt aber an mehreren Sachen:
1.) Wie berechnet man normalerweise (sofern "das denn Sinn macht") [mm] $(\sum_n a_n)*(\sum_n b_n)$? [/mm] Das ist doch nicht einfach [mm] $\sum_n (a_n*b_n)$.... [/mm] sondern? Schonmal sowas wie Cauchyprodukt gehört?
2.) Selbst, wenn man [mm] $\sum_n a_n$ [/mm] und [mm] $\sum_n b_n$ [/mm] irgendwie mit der Reihe [mm] $\sum_n (a_n*b_n)$ [/mm] vergleichen kann/könnte:
Deine Aussage passt auch dann nicht. Setze mal [mm] $a_n:=b_n:=1/n\,.$ [/mm] Und beachte: [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ [/mm] konvergiert.
P.S.
Nun mal ein anderer Tipp:
[mm] $$\frac{n-\sqrt{n}}{(n+\sqrt{n})^2}=\frac{(n-\sqrt{n})(n+\sqrt{n})}{(n+\sqrt{n})^3}=\frac{n^2-n}{(n+\sqrt{n})^3} \ge \frac{\frac{1}{2}n^2}{(n+\sqrt{n})^3} \ge \frac{\frac{1}{2}n^2}{(2n)^3}\,.$$
[/mm]
Kannst Du die Abschätzungen nachvollziehen? (Sonst: Nachfragen!!) Den Rest schaffst Du dann sicher auch noch alleine!
P.P.S.
Siehe auch hier:
Generell kannst Du versuchen, Deine obige Reihe
[mm] $$\sum_n \frac{n-\sqrt{n}}{(n+\sqrt{n})^2}$$
[/mm]
mit der Reihe
[mm] $$\sum_n [/mm] 1/n$$
"zu vergleichen". Dazu steht ein Satz in Heuser, Analysis I, 14. Auflage, S. 204, Satz 33.6, "Grenzwertkriterium" (diesen Satz habe ich auch im Wesentlichen im obigen Link erläutert):
Falls die Reihen $ [mm] \sum a_n [/mm] $ und $ [mm] \sum b_n [/mm] $ positive Glieder (also $ > [mm] 0\, [/mm] $) haben und wenn dann $ [mm] a_n/b_n [/mm] $ gegen einen Wert $ [mm] \gamma [/mm] > 0 $ konvergiert, dann haben die Reihen das gleiche Konvergenzverhalten (d.h. die Konvergenz von $ [mm] \sum a_n [/mm] $ zieht die von $ [mm] \sum b_n [/mm] $ nach sich, und die Divergenz von $ [mm] \sum a_n [/mm] $ die von $ [mm] \sum b_n\,. [/mm] $ Mit anderen Worten wegen Kontraposition: Die Reihe $ [mm] \sum a_n [/mm] $ konvergiert genau dann, wenn es $ [mm] \sum b_n [/mm] $ tut.)
D.h. bei Dir:
[mm] $$a_n:=\sum_n \frac{n-\sqrt{n}}{(n+\sqrt{n})^2}$$
[/mm]
und
[mm] $$b_n:=\frac{1}{n}$$
[/mm]
setzen. Dann zeige die Existenz von [mm] $G:=\lim_{n \to \infty} (a_n/b_n)$ [/mm] inklusive Berechnung von [mm] $G\,,$ [/mm] und zeige, dass $G > [mm] 0\,.$ [/mm] Aus dem Satz 33.6 von Heuser folgt dann die Behauptung - weil [mm] $\sum_n [/mm] (1/n)$ bekanntlich divergiert.
(Nebenbei: Eine Beweisanalyse des Satzes 33.6 aus Heuser zeigt Dir ein Verfahren, was oft "bei ähnlichen Aufgaben, bei denen man die Reihen auf Konvergenz untersuchen soll", nützlich ist, wenn man den Satz halt nicht einfach nur behalten (auswendig lernen) und anwenden können will.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Lukas147 |
Hallo ,
erstmal danke für deine Ausführliche Antwort. Ich muss zugeben dass ich bei meinem letzten Beitrag wirklich nicht über die Definitionen klar nachgedacht habe deshalb auch so etwas geschrieben habe. Aber zurück zur Aufgabe :
Die Abschätzungen sind mit eigentlich klar, denn es gilt ja:
[mm] n^2-n \ge 1/2*n^2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] n-1 [mm] \ge [/mm] 1/2*n
[mm] \gdw [/mm] 1- 1/n [mm] \ge [/mm] 1/2 ab n [mm] \ge [/mm] 2
Zur 2. Abschätzung: Hier wurde benutzt, dass [mm] \wurzel{n} [/mm] < n
Jetzt gilt : [mm] (1/2*n^2)/(8*n^3) [/mm] = 1/(16*n)
Diese Reihe ist divergent , da man das 1/16 aus der Summe herausziehen kann und dammit reihe 1/n erhält . Damit ist eine Minorante gefunden.
Hoffe das ist jetzt besser.
lg Lukas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lukas,
> Hallo ,
>
> erstmal danke für deine Ausführliche Antwort. Ich muss
> zugeben dass ich bei meinem letzten Beitrag wirklich nicht
> über die Definitionen klar nachgedacht habe deshalb auch
> so etwas geschrieben habe. Aber zurück zur Aufgabe :
>
> Die Abschätzungen sind mit eigentlich klar, denn es gilt
> ja:
> [mm]n^2-n \ge 1/2*n^2[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] n-1 [mm]\ge[/mm] 1/2*n
> [mm]\gdw[/mm] 1- 1/n [mm]\ge[/mm] 1/2 ab n [mm]\ge[/mm] 2
genau. Es ist auch gut, dass Du erkannt hast, für welche [mm] $n\,$ [/mm] das gilt. (Darauf hätte ich hinweisen können/sollen, dass die Abschätzung für [mm] $n=1\,$ [/mm] natürlich nicht geht, was aber unwesentlich ist.)
> Zur 2. Abschätzung: Hier wurde benutzt, dass [mm]\wurzel{n}[/mm] <
> n
Genau!
> Jetzt gilt : [mm](1/2*n^2)/(8*n^3)[/mm] = 1/(16*n)
>
> Diese Reihe
Wieder: Das ist so keine Reihe - da würden viele fragen: "Wo steht da eine Reihe? Ich sehe nur eine "Folge"!"
Aber okay: Ich sehe, unten machst Du's dann doch. Vielleicht ist's einfach eine Angewohnheit, die Du Dir noch abgewöhnen solltest (also von "Folgen" zu reden, obwohl Du die mit diesen Folgengliedern gebildete Reihe meinst...).
Also: Sag von mir aus sowas wie: Die mit diesen Summanden gebildete Reihe
> ist divergent , da man das 1/16 aus der Summe
> herausziehen kann und dammit reihe 1/n erhält . Damit ist
> eine Minorante gefunden.
> Hoffe das ist jetzt besser.
Ja. Wenn man's ganz penibel macht:
1.) [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] steht ja erstmal für die Folge [mm] $(s_n)_n$ [/mm] mit [mm] $s_n:=\sum_{k=1}^n a_k\,.$ [/mm] Und dann ist klar, dass die Reihe
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{16}\frac{1}{n}$$
[/mm]
das gleiche ist wie die Reihe [mm] $\frac{1}{16}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\,.$ [/mm] Denn schließlich gilt doch für jedes $n [mm] \in \IN$
[/mm]
[mm] $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{16}\frac{1}{k}=\frac{1}{16}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\,.$$
[/mm]
Das ist eigentlich eine reine Argumentation mit Folgen. (Die Folge ist dabei die Folge der Partialsummen, welche man auch kurz "Reihe" nennt. Daher sollte man beachten: [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] kann zwei Bedeutungen innehaben, und eine davon hat sie immer inne: Es ist eine Kurznotation für die Folge ihrer Partialsummen. Wenn diese Folge der Partialsummen konvergiert, dann steht das Symbol auch für den Grenzwert, d.h. dann kann [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] auch die Bedeutung von [mm] $\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n a_k$ [/mm] haben. Was wann gemeint ist, ergibt sich aus dem Zusammenhang - oder falls nicht, wird es explizit erwähnt!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Lukas147 |
Vielen Dank!
Ich werde ab jetzt versuchen immer die genauen Begriffe zu verwenden.
lg
Lukas
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