Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen sie das die Folge [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] gegeben mit.
[mm] a_{0} [/mm] := 1;
[mm] a_{1} [/mm] := 1;
[mm] a_{n+1}= a_{n} [/mm] + [mm] a_{n-1}
[/mm]
und:
[mm] a_{n}=\bruch{(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{(n+1)} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{(n+1)}}{\wurzel{5}}
[/mm]
den Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] hat. |
Hallo zusammen ich bins wieder der Mathe-Invalide Robin,
![[]](/images/popup.gif) hier
Habe ich die Fromel
[mm] a_{n}=\bruch{(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{(n+1)} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{(n+1)}}{\wurzel{5}} [/mm] fuer die Fibonacci Folge definiert durch:
[mm] a_{0} [/mm] := 1;
[mm] a_{1} [/mm] := 1;
[mm] a_{n+1}= a_{n} [/mm] + [mm] a_{n-1}
[/mm]
bewiesen weiterhin soll ich nun zeigen das die funktion
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{1+\wurzel{5}}{2}
[/mm]
hat.
So nun bin ich mir bei der weiteren vorgehensweise nicht sicher, wie dies zu machen ist. Ich habe die Funktion erst einmal aufgeschrieben:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{\bruch{(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{(n+2)} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{(n+2)}}{\wurzel{5}}}{\bruch{(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{(n+1)} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{(n+1)}}{\wurzel{5}}}=\bruch{(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{(n+2)} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{(n+2)}}{(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{(n+1)} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{(n+1)}}
[/mm]
so jetzt bin ich mir nicht sicher wie ich weiter vorgehen sollen, es steht ja explizit das ich zeigen soll und nicht beweisen. Ich bin gaenzlich ueberfragt.
Ich hab noch eine Umformung gemacht die mir sinnvoll erschien:
[mm] \bruch{(\bruch{1+\wurzel{5}}{1})^{(n+1)}*(1+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}) - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{(n+1)}(1+\bruch{1-\wurzel{5}}{2})}{(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{(n+1)} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{(n+1)}}
[/mm]
In der Hoffnung noch irgendwie was kuerzen zu koennen. Sehe aber leider nicht wie das gehen sollte.
Vielen Dank im vorab fuer eure Hilfe. Heisst Zeige und Beweise das gleiche?
|
|
| |
|
Ich rechne mich hier dumm und daemlich und hab langsam das Gefuehl das schon mein Ansatz ganz falsch ist.. hat irgendwer nen Tipp?
|
|
|
| |
|
> Zeigen sie das die Folge [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] gegeben
> mit.
> [mm]a_{0}[/mm] := 1;
> [mm]a_{1}[/mm] := 1;
> [mm]a_{n+1}= a_{n}[/mm] + [mm]a_{n-1}[/mm]
> und:
> [mm]a_{n}=\bruch{(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{(n+1)} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{(n+1)}}{\wurzel{5}}[/mm]
>
> den Grenzwert:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{1+\wurzel{5}}{2}[/mm] hat.
Setze [mm] \phi:=\frac{\sqrt{5}+1}{2} \Rightarrow \phi^{-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
[/mm]
Dann ist mit der expliziten Bildungsvorschrift
[mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\phi^{n+1}-\phi^{-(n+1)}}{\phi^n-\phi^{-n}}=\phi+\frac{\phi^{-n+1}-\phi^{-(n+1)}}{\phi^n-\phi^{-n}}
[/mm]
Zeige, dass [mm] r_n=\frac{\phi^{-n+1}-\phi^{-(n+1)}}{\phi^n-\phi^{-n}} [/mm] Nullfolge ist (etwa Nenner geht gegen unendlich, Zähler beschränkt).
LG
|
|
|
| |
|
Hallo, ne Frage sind das Dreher oder raff ich irgendwas nicht?
[mm] \gamma=\bruch{1+\wurzel{5}}{2} \Rightarrow \gamma^{-1}=\bruch{1-\wurzel{5}}{2}
[/mm]
und da wo du das [mm] \gamma [/mm] aus dem Zaehler rausziehst muesste da dann nicht stehen [mm] \bruch{\gamma^{n}}{} [/mm] weil man "das +1 rausgezogen hat"?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 So 13.11.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
[mm] \gamma^{-1} [/mm] hat das falsche vorzeichen prüfe [mm] \gamma^{-1}*\gamma!
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo Robin,
beachte erstmal leduarts Hinweis.
Warum nimmst du jetzt außerdem [mm] \gamma [/mm] statt [mm] \phi?
[/mm]
Es ist eigentlich egal, aber dafür besteht hier doch keine Notwendigkeit.
kamaleonti hat [mm] \phi [/mm] nicht zufällig gewählt; es ist die übliche Bezeichnung für den goldenen Schnitt, eben
[mm] \phi=\bruch{\wurzel{5}+1}{1}
[/mm]
> und da wo du das [mm]\gamma[/mm] aus dem Zaehler rausziehst muesste
> da dann nicht stehen [mm]\bruch{\gamma^{n}}{}[/mm] weil man "das +1
> rausgezogen hat"?
Nein, rechne mal nach. kamaleonti hat richtig gerechnet.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Ok jetzt hab ich glaub ich verstanden.
An den einzelnen Termen kann man jetzt sehen da diese groesser als 0 sind sie fuer -n gegen 0 laufen 0 - 0 = 0 im unteren teil laufen die zahlen aber gegen plus unendlich und 0 also
[mm] \bruch{0}{\infty}
[/mm]
die terme kann ich alle wenn ich den limes bestimmen will einfach durch den limes der einzelnen terme ersetzen. Jetzt Noch eine bloede Frage mit welchen Rechen regel kann man das
[mm] \phi [/mm] oben aus dem Zaehler ziehen und warum ist [mm] \phi [/mm] im Zaehler dann [mm] \phi^{-n+1} [/mm] ?
|
|
|
|
Potenzgesetz