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Konvergenz von Folgen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 Mo 31.10.2011
Autor: Levit

Aufgabe
Zeigen sie mit der Epsilon-Definition des Grenzwertes:
Falls die Folge [mm] b_n [/mm] konvergiert, dann konvergiert die durch [mm] c_n:=|b_n| [/mm] definierte Folge.

Kann mir jemand vielleicht einen Ansatz oder eine Idee geben? Muss ich eine Fallunterscheidung machen? Denn wenn [mm] b_n [/mm] für alle n positiv ist, ist das ja trivial.

        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 Mo 31.10.2011
Autor: Schadowmaster

jupp, eine Fallunterscheidung wäre eine Möglichkeit.
Aber benutzt du da die Epsilon-Definition?
Sei c der Grenzwert der Folge [mm] $(c)_n$ [/mm]
Dann muss gelten:
[mm] $|c_n [/mm] - c| < [mm] \epsilon$ [/mm]   für ausreichend große $n [mm] \in \IN$. [/mm]

Wenn die Folge [mm] $b_n$ [/mm] gegen den Grenzwert b konvertiert, wogegen definiert dann wohl [mm] $|b_n|$? [/mm]

Nimm also einfach den Grenzwert an und zeige dann (zB mit Dreiecksungleichung), dass du tatsächlich den richtigen Grenzwert hast.

lg

Schadow

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Folgen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:32 Mo 31.10.2011
Autor: Levit

Wir haben noch folgenden Hinweis bekommen:
|x+y| [mm] \le [/mm] |x|+|y| => ||x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x-y|.

Das hieße doch: [mm] |c_n-c|=||b_n|-|b|| \le |b_n-b| \le \epsilon. [/mm]

Und das wars dann doch schon, oder?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:34 Mo 31.10.2011
Autor: Schadowmaster


> Wir haben noch folgenden Hinweis bekommen:
>  |x+y| [mm]\le[/mm] |x|+|y| => ||x|-|y|| [mm]\le[/mm] |x-y|.

>  
> Das hieße doch: [mm]|c_n-c|=||b_n|-|b|| \le |b_n-b| \le \epsilon.[/mm]
>  
> Und das wars dann doch schon, oder?

[ok]


Bezug
        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:13 Mo 31.10.2011
Autor: fred97

Von einer Fallunterscheidung rate ich ab.

Tipp:

            $| ~|x|-|y| ~| [mm] \le [/mm] |x-y|$

FRED

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