Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert von
[mm] \bruch{2^n+5}{3^n-7} [/mm] |
Hallo,
ich komme bei der formalen Bearbeitung der Aufgabe nicht weiter. Ich vermute, dass der Grenzwert 0 ist. Wenn man Zähler und Nenner als einzelne Folgen betrachtet, sind beide streng monoton wachsend und ab n=3 ist der Nenner stets größer als der Zähler.
Leider weiß ich nicht, wie ich den Grenzwert formal bestimmen kann.
Könnt ihr mir helfen?
Liebe Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Fr 26.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Klammere im Zähler und im Nenner jeweils [mm] 3^n [/mm] aus
FRED
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Ah, danke! Das hilft schonmal, glaube ich.
Trotzdem komme ich formal nicht richtig weiter....
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}$ \bruch{2^n+5}{3^n-7} [/mm] $= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3^n*(\bruch{2^n}{3^n}+\bruch{5}{3^n}}{3^n*(1-\bruch{7}{3^n}}) =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(\bruch{2}{3})^n+\bruch{5}{3^n}}{1-\bruch{7}{3^n}} =\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2}{3})^n+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{5}{3^n}}{\limes_{n\rightarrow\infty}1+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{7}{3^n}}=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2}{3})^n + \bruch{5}{\limes_{n\rightarrow\infty}3^n}}{1+\bruch{7}{\limes_{n\rightarrow\infty}3^n}}
[/mm]
So...an dieser Stelle komme ich nicht weiter....
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Hallo sommerregen,
> Ah, danke! Das hilft schonmal, glaube ich.
> Trotzdem komme ich formal nicht richtig weiter....
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]\bruch{2^n+5}{3^n-7} [/mm]=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3^n*(\bruch{2^n}{3^n}+\bruch{5}{3^n}}{3^n*(1-\bruch{7}{3^n}}) =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(\bruch{2}{3})^n+\bruch{5}{3^n}}{1-\bruch{7}{3^n}} =\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2}{3})^n+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{5}{3^n}}{\limes_{n\rightarrow\infty}1+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{7}{3^n}}=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2}{3})^n + \bruch{5}{\limes_{n\rightarrow\infty}3^n}}{1+\bruch{7}{\limes_{n\rightarrow\infty}3^n}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> So...an dieser Stelle komme ich nicht weiter....
Nun, betrachte die Einzelgrenzwerte, du kennet [mm]\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0[/mm] für [mm]q<1[/mm] und [mm]\lim\limits_{n\to\infty}q^n=\infty[/mm] für [mm]q \ > \ 1[/mm]
Damit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n=0[/mm]
Was ist mit den anderen Summanden?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Fr 26.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo sommerregen,
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> > Ah, danke! Das hilft schonmal, glaube ich.
> > Trotzdem komme ich formal nicht richtig weiter....
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]\bruch{2^n+5}{3^n-7} [/mm]=
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3^n*(\bruch{2^n}{3^n}+\bruch{5}{3^n}}{3^n*(1-\bruch{7}{3^n}}) =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(\bruch{2}{3})^n+\bruch{5}{3^n}}{1-\bruch{7}{3^n}} =\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2}{3})^n+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{5}{3^n}}{\limes_{n\rightarrow\infty}1+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{7}{3^n}}=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2}{3})^n + \bruch{5}{\limes_{n\rightarrow\infty}3^n}}{1+\bruch{7}{\limes_{n\rightarrow\infty}3^n}}[/mm]
>
> >
> > So...an dieser Stelle komme ich nicht weiter....
>
> Nun, betrachte die Einzelgrenzwerte, du kennet
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0[/mm] für [mm]q<1[/mm] und
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}q^n=\infty[/mm] für [mm]q \ > \ 1[/mm]
Hallo schachuzipus ,
jetzt hab ich Dich auch mal erwischt !
Oben meinst Du sicherlich [mm]|q|<1[/mm] bzw. [mm]|q|>1[/mm]
Gruß FRED
>
>
> Damit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n=0[/mm]
>
> Was ist mit den anderen Summanden?
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo Fred,
hier reicht aber der positive Bereich ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]")
Gruß
schachuzipus
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Ah, ich glaube, jetzt hab ichs.
Es gilt dann also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}3^n=\infty [/mm] und somit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{5}{3^n}=0.
[/mm]
Ebenso bei [mm] \bruch{7}{3^n}.
[/mm]
Insgesamt folgt also [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2}{3})^n + \bruch{5}{\limes_{n\rightarrow\infty}3^n}}{1+\bruch{7}{\limes_{n\rightarrow\infty}3^n}} [/mm]
[mm] =\bruch{0+0}{1+0}=0.
[/mm]
Stimmts so?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 Fr 26.11.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Ah, ich glaube, jetzt hab ichs.
>
> Es gilt dann also:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}3^n=\infty[/mm] und somit
Ob man das so schreiben kann, darüber sind sich die Hamburger Profs nicht völlig einig. S. kennt die Konvergenz gegen [mm] \infty [/mm] nicht, also in seiner GruMi-Vorlesung nicht, Frau K. schon. Du meinst aber das Richtige.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{5}{3^n}=0.[/mm]
>
> Ebenso bei [mm]\bruch{7}{3^n}.[/mm]
>
> Insgesamt folgt also
> [mm]\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2}{3})^n + \bruch{5}{\limes_{n\rightarrow\infty}3^n}}{1+\bruch{7}{\limes_{n\rightarrow\infty}3^n}}[/mm]
> [mm]=\bruch{0+0}{1+0}=0.[/mm]
>
> Stimmts so?
Bis auf meine kritische Bemerkung auf jeden Fall
Gruß aus Harburg
Dieter
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> Ob man das so schreiben kann, darüber sind sich die
> Hamburger Profs nicht völlig einig. S. kennt die
> Konvergenz gegen [mm]\infty[/mm] nicht, also in seiner
> GruMi-Vorlesung nicht, Frau K. schon. Du meinst aber das
> Richtige.
>
Danke für deine Anmerkung, in der Klausur muss ich es ja auch formal richtig machen.
Ich habe aber einen Satz aus S.s Skript benutzt, der da lautet:
Gilt [mm] a_n\to [/mm] a für [mm] a\in \IR [/mm] und [mm] b_n\to \infty [/mm] oder [mm] b_n\to -\infty, [/mm] so folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{b_n}=0.
[/mm]
Ich dachte immer, [mm] b_n\to \infty [/mm] sei einfach eine kürzere Schreibweise für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n=\infty. [/mm] Von daher sollte doch die Schreibweise okay sein, oder?
Hast du einen Vorschlag, wie ich es besser formal schreiben könnte? Ansonsten notier ich mir die Frage für die Sprechstunde...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Fr 26.11.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> > Ob man das so schreiben kann, darüber sind sich die
> > Hamburger Profs nicht völlig einig. S. kennt die
> > Konvergenz gegen [mm]\infty[/mm] nicht, also in seiner
> > GruMi-Vorlesung nicht, Frau K. schon. Du meinst aber das
> > Richtige.
> >
> Danke für deine Anmerkung, in der Klausur muss ich es ja
> auch formal richtig machen.
> Ich habe aber einen Satz aus S.s Skript benutzt, der da
> lautet:
> Gilt [mm]a_n\to[/mm] a für [mm]a\in \IR[/mm] und [mm]b_n\to \infty[/mm] oder [mm]b_n\to -\infty,[/mm]
> so folgt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{b_n}=0.[/mm]
>
> Ich dachte immer, [mm]b_n\to \infty[/mm] sei einfach eine kürzere
> Schreibweise für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_n=\infty.[/mm]
> Von daher sollte doch die Schreibweise okay sein, oder?
Wenn du gaaaanz genau hinguckst, siehst du, daß S. das [mm] $\limes$-Symbol [/mm] nur dann benutzt, wenn ein Grenzwert in [mm] \IR [/mm] existiert. [mm] \infty [/mm] ist zunächst einmal kein Element von [mm] \IR. [/mm] Die [mm] $\to$-Schreibweise [/mm] ist da unverfänglich, weil sie in diesem Zusammenhang gar nicht streng definiert ist, sie ist hier sozusagen Bestandteil der Umgangssprache und nicht der Fachsprache.
Wenn du das in der Klausur falsch machst, wird dir niemand den Kopf abreißen, aber wenn du es richtig machst, hinterläßt du den kompetenteren Eindruck.
Gruß
Dieter
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