Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 So 21.11.2010 | | Autor: | racy90 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ich sitze gerade vor meinen Übungsblatt und stecke fest....
Ich kann zwar durch einsetzten verschieden großer n feststellen ob die Folge divergent oder konvergent ist aber wie man wirklich rechnerisch zeigt das die Folge konvergent ist und ggf. den Grenzwert berechnet,ist mir nicht so klar
Die Folgen wären:
[mm] ((-1)^n)/n^{(-1)n} [/mm]
[mm] (-1)^{n^2} [/mm]
[mm] (-1)^n(-1)^{n^2}
[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> Ich sitze gerade vor meinen Übungsblatt und stecke
> fest....
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> Ich kann zwar durch einsetzten verschieden großer n
> feststellen ob die Folge divergent oder konvergent ist aber
> wie man wirklich rechnerisch zeigt das die Folge konvergent
> ist und ggf. den Grenzwert berechnet,ist mir nicht so klar
>
> Die Folgen wären:
>
> [mm]((-1)^n)/n^{(-1)n}[/mm]
>
Das letzte n soll wohl auch ein Exponent zu (-1) sein, was ich auf Grund der Schreibweise vermute. Also [mm]((-1)^n)/n^{(-1)^n}[/mm].Falls das so ist: Schreib mal die ersten paar Glieder ausführlich und genau hin, dann stellst du fest, dass die Folge divergent ist. Das sieht man dann sofort und kann es durch Text begründen.
> [mm](-1)^{n^2}[/mm]
>
auch divergent, siehst du dann auch sofort und kannst es begründen durch Text.
> [mm](-1)^n(-1)^(n^2)[/mm]
konvergent, sieht man ebenfalls sofort!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:00 Mo 22.11.2010 | | Autor: | racy90 |
Hallo nochmal
ja das war mir schon klar,aber wie stell ich mathematisch präzise konvergenz fest und berechne dann den Grenzwert,weil ich denke es wird dann nicht beim Test reichen wenn ich Folgenglieder aufschreibe und so auf Konvergenz schließe und den Grenzwert so bestimme.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
eine Folge in einem metrischen Raum (z.B. [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$ [/mm] mit der vom Betrag induzierten Metrik) ist genau dann konvergent, wenn sie genau einen Häufungspunkt hat.
(Deine Folgen sind lesbar(er), wenn Du den Befehl [mm] [nomm]$\bruch{}{}$[/nomm] [/mm] oder [mm] [nomm]$\frac{}{}$[/nomm] [/mm] benutzt und die Exponenten in geschweiften Klammern {} schreibst, bspw.:
[mm] $a_n=\frac{(-1)^n}{n^{(n^n)}}$$
[/mm]
(Bei "Mehrfachexponenten" sollte geklammert werden, damit der Term eindeutig interpretierbar ist, da bspw. [mm] $2^{(2^3)}=2^8=256\,,$ [/mm] aber [mm] $(2^2)^3=4^3=64$).)
[/mm]
Mit dem obenstehenden Satz solltest Du Deine Folgen auf Konvergenz und Divergenz untersuchen können, und Dein Ergebnis vernünftig begründen können. Mir ist es jetzt allerdings ein wenig unklar, wie die Folgen genau definiert sind - das, was ich da lese und errate, scheint mir nicht das zu sein, was der Aufgabensteller eigentlich wissen will (rein intuitiv gesehen). Könntest Du die Folgen bitte nochmal angeben (notfalls auch mit Mehrfachklammerung, falls Du Brüche doch lieber in der Form [mm] $a/b\,$ [/mm] anstelle von [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] schreiben willst - und beachte auch, dass die Exponenten umklammert werden sollten.)
Andere Beispiele:
Mit [mm] $x_n=(-1)^n*2+\frac{1}{n}$ [/mm] ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine divergente Folge, da sie die Häufungspunktmenge [mm] $\{-2,2\}\,$ [/mm] hat (also mehr als einen, nämlich genau 2, Häufungspunkte).
Mit [mm] $y_n:=-e+\frac{(-1)^n}{n^3}$ [/mm] ist [mm] $(y_n)_n$ [/mm] konvergent, da diese Folge den einzigen Häufungspunkt (und damit Grenzwert) [mm] $-e\,$ [/mm] hat (die Häufungspunktmenge ist hier [mm] $=\{-e\}\,,$ [/mm] also einelementig). Dabei ist [mm] $e\approx 2,718\,$ [/mm] die Eulersche Zahl..
P.S.:
Erinnerung:
Ein Punkt $h [mm] \in [/mm] X$ eines metrischen Raumes [mm] $(X,d)\,$ [/mm] ist genau dann ein Häufungspunkt einer Folge (in [mm] $X\,$), [/mm] wenn diese eine Teilfolge hat, die gegen den Punkt [mm] $h\,$ [/mm] konvergiert.
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mo 22.11.2010 | | Autor: | racy90 |
hab jetzt nochmal versucht die Folgen anzuschreiben
[mm] (-1)^n/(n^{(-1)^n}
[/mm]
[mm] (-1)^{n^2}
[/mm]
[mm] (-1)^n(-1)^{n^2}
[/mm]
Aber ich kann doch dann nicht einfach bei der Prüfung hinschreiben ,aufgrund das die Folgeglieder mir zeigen das ein Häufungspunkt existiert gilt das sie konvergent ist laut diesen Satz: eine Folge in einem metrischen Raum (z.B. $ [mm] \IR [/mm] $ oder $ [mm] \IC [/mm] $ mit der vom Betrag induzierten Metrik) ist genau dann konvergent, wenn sie genau einen Häufungspunkt hat.
Ich muss doch i-wie Divergenz oder Konvergenz beweisen und bei konv. den Limes ausrechnen .Doch wie ?????????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hab jetzt nochmal versucht die Folgen anzuschreiben
>
> [mm](-1)^n/(n^{(-1)^n}[/mm]
>
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> [mm](-1)^{n^2}[/mm]
>
>
> [mm](-1)^n(-1)^{n^2}[/mm]
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> Aber ich kann doch dann nicht einfach bei der Prüfung
> hinschreiben ,aufgrund das die Folgeglieder mir zeigen das
> ein Häufungspunkt existiert gilt das sie konvergent ist
> laut diesen Satz: eine Folge in einem metrischen Raum (z.B.
> [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IC[/mm] mit der vom Betrag induzierten Metrik) ist
> genau dann konvergent, wenn sie genau einen Häufungspunkt
> hat.
>
> Ich muss doch i-wie Divergenz oder Konvergenz beweisen und
> bei konv. den Limes ausrechnen .Doch wie ?????????
Du sollst die Sätze benutzen und begründen, wie Du sie benutzt hast. Nicht einfach nur die Sätze zitieren und sagen, dass man damit zum Ergebnis kommen kann. Da wird sich jeder fragen: "Ja: Wie kommen denn nun die Sätze ins Spiel bzw. zum Zuge?"
Z.B. kannst Du das so machen (ich mache es Dir beispielhaft an zwei anderen Folgen vor; Du solltest es analog auf Deine Folgen übertragen können):
Wir betrachten die Folge [mm] $((-1)^{(n^2)})_{n \in \IN}\,.$ [/mm] Weil [mm] $n^2$ [/mm] genau dann gerade ist, wenn [mm] $n\,$ [/mm] gerade ist (Beweis?), ist diese Folge identisch mit [mm] $(a_n)_{n \in \IN}\equiv((-1)^n)_{n \in \IN}\,.$ [/mm] Weil aber [mm] $a_{2k}=(-1)^{2k}=((-1)^2)^k=1^k=1 \to [/mm] 1$ ($k [mm] \to \infty$) [/mm] und [mm] $a_{2k-1}=...=-1 \to [/mm] -1$ ($k [mm] \to \infty$) [/mm] gilt, sind [mm] $-1\,$ [/mm] und $+1$ Häufungspunkte der Folge (wir haben eine Teilfolge gefunden, die gegen [mm] $1\,$ [/mm] konvergiert, und auch eine, die gegen [mm] $-1\,$ [/mm] konvergiert; übrigens: Auch andere Teilfolgen erfüllen sowas, z.B. gilt [mm] $a_{4k} \to [/mm] 1$ bei $k [mm] \to \infty$) [/mm] - also ist sie divergent. (Sie hat mindestens zwei (hier genauer: sogar genau zwei) Häufungspunkte, also nicht genau einen!).
(Wenn man übrigens zudem zeigen wollte, dass die Folge ansonsten keinen Häufungspunkt hat, so müsste man z.B. ein Argument finden, dass jede konvergente Teilfolge entweder gegen [mm] $+1\,$ [/mm] oder gegen [mm] $-1\,$ [/mm] konvergiert.)
Betrachtest Du hingegen [mm] $(b_n)_n\equiv \left(2+\frac{(-1)^n}{n}\right)_n\,,$ [/mm] so kannst Du sofort sagen, dass diese Folge als Summe der "Folge konstant [mm] $2\,$", [/mm] die gegen [mm] $2\,$ [/mm] konvergiert, und der (gegen [mm] $0\,$ [/mm] konvergenten) (Null-)Folge [mm] $((-1)^n/n)_n$ [/mm] gegen die Summe der Grenzwerte, also [mm] $2+0=0\,,$ [/mm] konvergiert.
Wenn man das mit dem Häufungspunktkriterium machen will: Sei [mm] $(b_k)_k:\equiv(a_{n_k})_k$ [/mm] irgendeine Teilfolge von [mm] $(a_n)_n\,.$ [/mm] Zeige: Dann gilt [mm] $b_k \to 2\,.$ [/mm] Wenn Du das gezeigt hast, ist gezeigt, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] genau einen Häufungspunkt hat - und der ist [mm] $=2\,.$ [/mm] Das ist der Grenzwert.
Gruß,
Marcel
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