Konvergenz von Folgen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Mo 21.11.2005 | | Autor: | ElkeD |
Guten Abend zusammen!
Ich habe folgendes Problem: Ich soll folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit überprüfen:
1.Jede konvergente Folge hat eine untere Schranke. falsch denn es kann sich auch um eine obere Schranke handeln?
2.Eine Folge, die nicht beschränkt ist, kann keinen Grenzwert haben. Richtig?
3.Konvergente Folgen müssen monoton und beschränkt sein.
Falsch, sie müssen einen Grenzwert haben?
4.Jede monoton fallende, nach oben beschränkte Folge konvergiert.
Richtig?
5.Beschränkte Folgen müssen einen Grenzwert haben. Richtig?
Könntet ihr meine Aussagen und Antworten überprüfen und eventuell Hilfestellung geben!?
Vielen Dank, mir wäre auch schon hilfreichen Gedankenanregungen geholfen!
Lieben Gruß von Elke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Elke,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Guten Abend zusammen!
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> Ich habe folgendes Problem: Ich soll folgende Aussagen auf
> ihre Richtigkeit überprüfen:
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> 1.Jede konvergente Folge hat eine untere Schranke. falsch
> denn es kann sich auch um eine obere Schranke handeln?
Die Aussage ist richtig, denn jede konvergente Folge ist beschränkt, hat also eine obere und untere Schranke.
Stell dir vor, sie hätte keine untere Schranke, dann gibt es doch zu jeder noch so kleinen Zahl s, unendlich viele Glieder der Folge, die kleiner sind. Siehst du den Widerspruch, wenn du als s eine Zahl nimmst, die kleiner als der Grenzwert g ist.?
> 2.Eine Folge, die nicht beschränkt ist, kann keinen
> Grenzwert haben. Richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 3.Konvergente Folgen müssen monoton und beschränkt sein.
> Falsch, sie müssen einen Grenzwert haben?
Sie müssen beschränkt sein, aber sie brauchen nicht monoton zu sein. Beispiel: [mm] a_n = (-1)^n \ \bruch{1}{n} [/mm]
> 4.Jede monoton fallende, nach oben beschränkte Folge
> konvergiert.
> Richtig?
Die Aussage ist falsch. Jede monoton fallende Folge ist automatisch nach oben beschränkt, da das erste Glied der Folge ja eine obere Schranke ist.
Richtig wäre: Jede monoton fallende, nach unten beschränkte Folge ist konvergent.
> 5.Beschränkte Folgen müssen einen Grenzwert haben.
> Richtig?
Nein. Gegenbeispiel: [mm] a_n = (-1)^n + \bruch{1}{n} [/mm] oder noch einfacher: [mm] a_n = (-1)^n [/mm].
Siehst du, warum das ein Gegenbeispiel ist?
Gruß
Sigrid
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> Könntet ihr meine Aussagen und Antworten überprüfen und
> eventuell Hilfestellung geben!?
>
> Vielen Dank, mir wäre auch schon hilfreichen
> Gedankenanregungen geholfen!
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> Lieben Gruß von Elke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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