Konvergenz von Folge bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n [/mm] := [mm] \left( 1 + \bruch{1}{n^2}\right)^n^n [/mm] (Das soll hoch [mm] n^2 [/mm] heißen. Weiß nicht, wie ich das hier eingeben muss)
soll auf Konvergenz bzw. Divergenz untersucht werden. |
Hallo,
kann mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe behilflich sein. Ich komme irgendwie nicht weiter. Zwar habe ich das Gefühl, dass es etwas damit zu tun haben kann dass [mm] \left( 1 + \bruch{1}{n}\right)^n [/mm] gegen e konvergiert und man darüber den Grenzwert der zu untersuchenden Folge irgendwie heraus bekommen kann. Mit diesem Ansatz komme ich allerdings nicht weiter und bin mir auch nicht sicher, ob das der richtige Weg sein könnte. vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen.
Für Hilfe jeder Art bin ich sehr dankbar.
Viele Grüße,
das schlumpfinchen.
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Hallo!
Du könntest es doch mit L'Hospital versuchen...
Gruß
Angelika
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Hallo,
ich habe gerade versucht mit l`Hospital den Grenzwert zu bestimmen. Komme
da ehrlich gesagt aber auch nicht weiter. Bist du sicher, dass man die Aufgabe damit lösen kann?
Viele Grüße!
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Falls du meinst: [mm](a_n)[/mm] mit [mm]a_n[/mm] := [mm]\left( 1 + \bruch{1}{n^2}\right)^{n^2}[/mm], diese Folge konvergiert genau gegen e.
Falls du meinst:
[mm]a_n[/mm] := [mm][mm] \left( 1 + \bruch{1}{n^2}\right)^{n^n} [/mm] kann ich dir leider nicht weiterhelfen... sry
lg Kai
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Hallo kai,
> Falls du meinst: [mm](a_n)[/mm] mit [mm]a_n[/mm] := [mm]\left( 1 + \bruch{1}{n^2}\right)^{n^2}[/mm],
> diese Folge konvergiert genau gegen e.
ich meinte die erste Folge, welche wohl gegen e konvergiert, wie du sagst. Aber wie komme ich darauf?? Das ist mir immer noch nicht klar??? Kannst du mir vielleicht noch einen Tipp geben?? Mit l´Hospital glaube ich macht man das nicht, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 So 22.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo kai,
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> > Falls du meinst: [mm](a_n)[/mm] mit [mm]a_n[/mm] := [mm]\left( 1 + \bruch{1}{n^2}\right)^{n^2}[/mm],
> > diese Folge konvergiert genau gegen e.
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> ich meinte die erste Folge, welche wohl gegen e
> konvergiert, wie du sagst. Aber wie komme ich darauf?? Das
> ist mir immer noch nicht klar??? Kannst du mir vielleicht
> noch einen Tipp geben?? Mit l´Hospital glaube ich macht man
> das nicht, oder?
>
Hallo,
die Folgenglieder von [mm] \left( 1 + \bruch{1}{n^2}\right)^{n^2} [/mm] bilden doch eine Teilfolge der Folge [mm] \left( 1 + \bruch{1}{n}\right)^{n} [/mm] (diese Teilfolge besteht aus dem 1., 4., 9., 16., 25. ... Glied der Folge
[mm] \left( 1 + \bruch{1}{n}\right)^{n})
[/mm]
Gruß Abakus
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Du hast die Aufgabe bereits selbst gelöst: Da, wo bei
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] das n steht, steht jetzt [mm] n^2. [/mm] Das heißt: Statt mit n die natürlichen Zahlen zu durchlaufen, durchläufst du alle Quadratzahlen. Diese letzte Folge [mm] n^2 [/mm] ist doch aber eine Teilfolge der natürlichen Zahlen, das heißt: Diese Quadratzahlen kamen in der alten Folge [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] auch schon vor, und zwar immer dann, wenn n eine Quadratzahl war. Da nun die alte Folge gegen e konvergiert, müssen auch ihre Glieder, die nur Quadratzahlen enthalten, ebenfalls gegen e konvergieren.
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Super vielen Dank!! Blöd, dass ich da nicht selber drauf gekommen bin. Jetzt wo ichs weiß erscheint es mir so offensichtlich! Naja.....
Viele Grüße, schlumpfinchen.
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