matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenKonvergenz von Folge
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz von Folge
Konvergenz von Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz von Folge: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:30 Sa 01.07.2006
Autor: g_hub

Aufgabe
Die Folge [mm] (x_n) \subset \IR [/mm] sei zu gegebenem [mm] x_0\in\IR [/mm] definiert über [mm] x_{n+1}=cos(x_n). [/mm] Zeigen Sie, dass diese Folge für jedes beliebige [mm] x_0 [/mm] konvergiert.

Sorry, dass ich mit dieser einfachen Frage nerve... aber irgendwie komm ich nicht weiter.
Meine Idee:

Banachschen Fixpunktsatz anwenden.
Betrachte [mm] \Phi [/mm] : [mm] [-1,1]\to [/mm] [-1,1] mit [mm] x\mapsto [/mm] cos x und zeige, dass [mm] \Phi [/mm] (stark) kontraktiv.

Das letzte gelingt mir irgendwie nicht, hilft mir jemand?
Außerdem: Ich meine mich zu erinnern, dass cos lipschitz mit Konstante 1 ist, weiß aber den Beweis dafür nicht mehr, kennt den einer?

Danke schonmal

        
Bezug
Konvergenz von Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:03 Sa 01.07.2006
Autor: mathemaduenn

Hallo g_hub,

> Banachschen Fixpunktsatz anwenden.
>  Betrachte [mm]\Phi[/mm] : [mm][-1,1]\to[/mm] [-1,1] mit [mm]x\mapsto[/mm] cos x und
> zeige, dass [mm]\Phi[/mm] (stark) kontraktiv.

[daumenhoch]  

> Das letzte gelingt mir irgendwie nicht, hilft mir jemand?
>  Außerdem: Ich meine mich zu erinnern, dass cos lipschitz
> mit Konstante 1 ist, weiß aber den Beweis dafür nicht mehr,
> kennt den einer?

Das folgt aus dem Mittelwertsatz und der Tatsache das die Ableitung des cos kleiner 1 ist. Der Mittelwertsatz und die Abschätzung der Ableitung hilft Dir auch beim Auffinden der richtigen L-Konstante. (Denn 1 reicht ja noch nicht.)
Alles klar?
viele grüße
mathemaduenn

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Folge: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Sa 01.07.2006
Autor: g_hub

Irgendwas stimmt noch nicht....
wenn ich einfach abschätze
|cos' x|=|-sin x|=|sin [mm] x|\le [/mm] sin 1<1
kann ich dann einfach
[mm] \bruch{|cos x - cos y|}{|x-y|}\le [/mm] sin 1
schließen?
Wenn ja, wofür brauche ich dann den MWS?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Sa 01.07.2006
Autor: mathemaduenn

Hallo g_hub,
> Irgendwas stimmt noch nicht....
>  wenn ich einfach abschätze
>  |cos' x|=|-sin x|=|sin [mm]x|\le[/mm] sin 1<1
>  kann ich dann einfach
>  [mm]\bruch{|cos x - cos y|}{|x-y|}\le[/mm] sin 1
>  schließen?
>  Wenn ja, wofür brauche ich dann den MWS?

Na damit Du das einfach schließen kannst benutzt Du den MWS:
[mm] f(x)-f(y)=f'(\xi)*(x-y) [/mm]
[mm] |f(x)-f(y)|=|f'(\xi)|*|x-y|\le sup|f'(\xi)|*|x-y| [/mm]
viele Grüße
mathemaduenn


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]