Konvergenz von (-1)^k < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 So 06.12.2009 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k*1 [/mm] nicht konvergiert, ist ja klar.
Doch wie beweise ich dies korrekt? Leibniz-Kriterium ist ja leider nur hinreichend und nicht notwendig, daher kann ich daraus nicht auf Nicht-Konvergenz (=Divergenz) schließen.
Notwendige Bedingung ist ja, dass die Folgenglieder gegen 0 gehen. Wie ist denn der mathematisch korrekte Grenzwert? 1 oder -1? Wie schreibe ich das mit Limes richtig auf?
Danke!
PS: Welche Reihen gibt es eigentlich, bei denen das Leibniz-Kriterium nicht auf Konzergenz schließen lässt, die aber trotzdem konvergent sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 So 06.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Oli!
Die Folge [mm] $\left< \ (-1)^k \ \right>_{k\in\IN}$ [/mm] hat die beiden Häufungspunkte $+1_$ sowie $-1_$ .
Damit existiert auch kein Grenzwert der genannten Folge; schon gar nicht der Grenzwert 0.
Also folgt daraus auch unmittelbar die Divergenz der Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k$ [/mm] (notwendiges Kriterium).
Gruß
Loddar
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Hallo [mm] oli_k,
[/mm]
> Hallo,
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> dass [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k*1[/mm] nicht konvergiert, ist
> ja klar.
>
> Doch wie beweise ich dies korrekt? Leibniz-Kriterium ist ja
> leider nur hinreichend und nicht notwendig, daher kann ich
> daraus nicht auf Nicht-Konvergenz (=Divergenz) schließen.
>
> Notwendige Bedingung ist ja, dass die Folgenglieder gegen 0
> gehen. Wie ist denn der mathematisch korrekte Grenzwert? 1
> oder -1? Wie schreibe ich das mit Limes richtig auf?
Zu dieser Frage: Loddar hat es schon gesagt.
Die notwendige Bedingung ist, dass die Folgenglieder eine Nullfolge bilden (d.h. unter anderem, dass die "Folge der Folgenglieder" überhaupt erstmal konvergent ist.
(Nullfolge = konvergent + Limes 0)
Das ist bei dir nicht der Fall.
> PS: Welche Reihen gibt es eigentlich, bei denen das
> Leibniz-Kriterium nicht auf Konzergenz schließen lässt,
> die aber trotzdem konvergent sind?
Nun, zum Beispiel bedeutet die Monotonie eine Einschränkung. Es gibt nämlich einige Reihen, deren Reihenglieder zwar eine Nullfolge bilden und die alternierend sind, aber trotzdem gegen unendlich konvergieren. Das sind meist keine "normalen" Reihen, also da muss man schon ein wenig basteln, aber es gibt eben solche Beispiele:
![[]](/images/popup.gif) Beispiel
Es gibt eben auch genügend Reihen, die alternierend sind, aber deren Folgenglieder nicht monoton sind, die trotzdem konvergieren.
(Auch dafür müsste man Beispiele konstruieren, weil alle "normalen" Reihenglieder ja immer monoton sind, zum Beispiel nimmst du einfach:
[mm] -\frac{1}{n^{2}} [/mm] wenn n gerade
[mm] \frac{1}{2^{n}} [/mm] wenn n ungerade.
als Reihenglieder. Die sind nicht monoton, aber die (alternierende) Reihe konvergiert trotzdem, weil beide Teilreihen konvergieren.)
Dasselbe kannst du nun auch mit der Voraussetzung durchspielen, dass die Reihe alternierend sein muss.
--> Also: Natürlich gibt es Reihen, mit denen man nicht mit dem Leibniz-Kriterium die Konvergenz festlegen kann, nämlich genau dann, wenn die Voraussetzungen nicht erfüllt sind. Gäbe es ein ultimatives Konvergenzkriterium, dass für alle Reihen entscheiden kann, ob sie konvergieren oder divergieren, bräuchte man ja die anderen nicht mehr.
--> Wenn du aber das Leibnizkriterium anwenden kannst, dann folgt natürlich auch Konvergenz.
Grüße,
Stefan
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