Konvergenz v. Folge beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Folge [mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{n}{3n - 1} [/mm] für [mm] n\in \IN [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{3} [/mm] konvergiert mithilfe des [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] n_{0} [/mm] Kriteriums. |
Hallo,
ich beschreibe zunächst einmal die Musterlösung der Aufgabe und werde dann meine Unklarheiten erläutern. Vielleicht kann mir ja jemand dabei weiterhelfen.
Musterlösung:
Für jedes [mm] n\in \IN [/mm] gilt
[mm] \left| a_n - \bruch{1}{3} \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{n}{3n - 1} - \bruch{1}{3}
\right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{3n - ( 3n - 1)}{3(3n - 1)} \right| [/mm] = [mm] \bruch{1}{9n - 3} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{6n + 3n -3} \le \bruch{1}{6n + 3 - 3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6n}
[/mm]
Nach dem Satz des Archimedes gibt es nun zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit [mm] n_0 [/mm] > [mm] \bruch{1}{6\varepsilon}. [/mm] Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge n_0 [/mm] ist dann
[mm] \left| a_n - \bruch{1}{3} \right| \le \bruch{1}{6n} \le \bruch{1}{6n_0} [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Also konvergiert die Folge [mm] a_n [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{3}.
[/mm]
So, nun zu meinen Fragen:
Ich verstehe zwar vom Prinzip her was ich zu beweisen habe. Nämlich, dass es zu jeder beliebig kleinen Zahl [mm] \varepsilon [/mm] eine natürliche Zahl [mm] n_0 [/mm] gibt, welche die Eigenschaft hat, dass der Abstand aller Folgenglieder (deren n größer oder gleich [mm] n_0 [/mm] ist) vom Grenzwert kleiner ist als das gewählte [mm] \varepsilon. [/mm]
Nun habe ich aber Probleme damit zu verstehen, warum man das durch die angegebene Musterlösung schon komplett bewiesen hat. Irgendwie kann ich immer nur einzelne Details nachvollziehen. Aber das Ganze im Zusammenhang ist mir nicht so richtig verständlich.
Also, die Differenz, welche innerhalb der Betragstriche steht ist ja im Prinzip der Abstand eines Folgengliedes [mm] a_n [/mm] vom Grenzwert [mm] \bruch{1}{3}. [/mm] Man rechnet das dann ja aus und am Ende vergrößert man den Bruch. Warum genau macht man das?Das ist mir z.B. nicht klar?!Man erhält dann ja einen Wert, welcher abhängig von n [mm] \in\IN [/mm] ist und welcher größer ist als der Abstand von [mm] a_n [/mm] zum Grenzwert [mm] \bruch{1}{3}. [/mm] Und warum vergrößert man den Bruch ausgerechnet auf [mm] \bruch{1}{6n}?! [/mm] Ich kann mir vorstellen, dass dieser Bruch vielleicht eine bestimmte möglichst einfache Form aufweisen muss, damit ich mit dem Satz des Archimedes zeigen kann, dass es das oben beschriebene [mm] n_0 [/mm] mit der entsprechenden Eigenschaft wirklich gibt (womit ich dann ja die Konvergenz gezeigt hätte).
Das sind alles so Gedanken, die ich habe und die auch glaube ich richtig sind. Aber ich kann den gesamten Zusammenhang nicht richtig erfassen und nicht erkennen, dass dies ein vollständiger Beweis ist.
Ich wäre wirklich dankbar, wenn mir jemand ein wenig Licht in mein Dunkel bringen könnte.
Viele Grüße!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Di 20.01.2009 | | Autor: | taura |
Hallo Schlumpfinchen!
> Zeigen Sie, dass die Folge [mm]a_n[/mm] := [mm]\bruch{n}{3n - 1}[/mm] für
> [mm]n\in \IN[/mm] gegen [mm]\bruch{1}{3}[/mm] konvergiert mithilfe des
> [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]n_{0}[/mm] Kriteriums.
> Hallo,
>
> ich beschreibe zunächst einmal die Musterlösung der Aufgabe
> und werde dann meine Unklarheiten erläutern. Vielleicht
> kann mir ja jemand dabei weiterhelfen.
> Musterlösung:
>
> Für jedes [mm]n\in \IN[/mm] gilt
>
> [mm]\left| a_n - \bruch{1}{3} \right|[/mm] = [mm]\left| \bruch{n}{3n - 1} - \bruch{1}{3}
\right|[/mm]
> = [mm]\left| \bruch{3n - ( 3n - 1)}{3(3n - 1)} \right|[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{9n - 3}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{6n + 3n -3} \le \bruch{1}{6n + 3 - 3}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{6n}[/mm]
>
> Nach dem Satz des Archimedes gibt es nun zu jedem
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]n_0 \in \IN[/mm] mit [mm]n_0[/mm] >
> [mm]\bruch{1}{6\varepsilon}.[/mm] Für jedes n [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge n_0[/mm]
> ist dann
>
> [mm]\left| a_n - \bruch{1}{3} \right| \le \bruch{1}{6n} \le \bruch{1}{6n_0}[/mm]
> < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Also konvergiert die Folge [mm]a_n[/mm] gegen [mm]\bruch{1}{3}.[/mm]
>
> So, nun zu meinen Fragen:
>
> Ich verstehe zwar vom Prinzip her was ich zu beweisen habe.
> Nämlich, dass es zu jeder beliebig kleinen Zahl [mm]\varepsilon[/mm]
> eine natürliche Zahl [mm]n_0[/mm] gibt, welche die Eigenschaft hat,
> dass der Abstand aller Folgenglieder (deren n größer oder
> gleich [mm]n_0[/mm] ist) vom Grenzwert kleiner ist als das gewählte
> [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Nun habe ich aber Probleme damit zu verstehen, warum man
> das durch die angegebene Musterlösung schon komplett
> bewiesen hat. Irgendwie kann ich immer nur einzelne Details
> nachvollziehen. Aber das Ganze im Zusammenhang ist mir
> nicht so richtig verständlich.
>
>
> Also, die Differenz, welche innerhalb der Betragstriche
> steht ist ja im Prinzip der Abstand eines Folgengliedes [mm]a_n[/mm]
> vom Grenzwert [mm]\bruch{1}{3}.[/mm] Man rechnet das dann ja aus und
> am Ende vergrößert man den Bruch. Warum genau macht man
> das?
Also, wenn du dein [mm] $n_0$ [/mm] gefunden hast, willst du ja zeigen, dass für alle [mm] $n\ge n_0$ [/mm] gilt, dass [mm] $\left| a_n - \bruch{1}{3} \right|<\epsilon$. [/mm] Wenn du aber schon weißt, dass für alle n gilt, dass [mm] $\left| a_n - \bruch{1}{3} \right|\le \br{1}{6n}$ [/mm] und du kannst zeigen, dass für deine gewünschten n gilt [mm] $\br{1}{6n}<\epsilon$ [/mm] (das ist der Teil mit Archimedes), dann kannst du folgern, dass [mm] $\left| a_n - \bruch{1}{3} \right|\le \br{1}{6n}<\epsilon$ [/mm] für deine gewünschten n, also [mm] $\left| a_n - \bruch{1}{3} \right|<\epsilon$, [/mm] was genau das ist, was du zeigen willst.
> Das ist mir z.B. nicht klar?!Man erhält dann ja einen
> Wert, welcher abhängig von n [mm]\in\IN[/mm] ist und welcher größer
> ist als der Abstand von [mm]a_n[/mm] zum Grenzwert [mm]\bruch{1}{3}.[/mm]
> Und warum vergrößert man den Bruch ausgerechnet auf
> [mm]\bruch{1}{6n}?![/mm] Ich kann mir vorstellen, dass dieser Bruch
> vielleicht eine bestimmte möglichst einfache Form aufweisen
> muss, damit ich mit dem Satz des Archimedes zeigen kann,
> dass es das oben beschriebene [mm]n_0[/mm] mit der entsprechenden
> Eigenschaft wirklich gibt (womit ich dann ja die Konvergenz
> gezeigt hätte).
Genau, man schätzt deshalb auf [mm] $\br{1}{6n}$ [/mm] ab, damit man den Satz von Archimedes anwenden kann.
> Das sind alles so Gedanken, die ich habe und die auch
> glaube ich richtig sind. Aber ich kann den gesamten
> Zusammenhang nicht richtig erfassen und nicht erkennen,
> dass dies ein vollständiger Beweis ist.
Ich hoffe das hilft dir weiter!
Viele Grüße,
taura
|
|
|
| |
|
Hallo taura,
>
> Also, wenn du dein [mm]n_0[/mm] gefunden hast,
Also, ich habe jetzt darüber nachgedacht, was du geschrieben hast. Und was ich glaube ich hauptsächlich auch nicht verstehe ist, ob ich mir das [mm] n_0 [/mm] zuerst aussuche oder das [mm] \varepsilon. [/mm] Ich weiß zwar, dass das [mm] \varepsilon [/mm] beliebig positiv sein kann. Aber ich will ja trotzdem für ein festes [mm] \varepsilon [/mm] zeigen, dass für alle [mm] n\le n_0 [/mm] gilt [mm] \left| a_n - \bruch{1}{3} \right| [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm] Du schreibst, dass ich das [mm] n_0 [/mm] finde. Wovon hängt es ab, welches [mm] n_0 [/mm] ich finde.
Das ist nämlich, glaube ich, der Punkt an dem es bei mir hakt.
vielleicht kann mir ja hier nochmal jemand weiterhelfen?
Viele Grüße,
schlupfinchen.
|
|
|
| |
|
Hallo Schlumpfinchen!
In der Regel wird ein [mm] $\varepsilon$ [/mm] gewählt (was ja schließlich "beliebig und positiv" ist) und ermittel daraus mein [mm] $n_0$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
