Konvergenz unendlicher Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Mi 17.12.2008 | | Autor: | newcomer |
| Aufgabe | | Konvergiert die unendliche Folge [mm] a_{n}=(n^{-2})^{\bruch{1}{n}} [/mm] |
Hallo liebe helfer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
eine folge ist ja konvergent wenn sie beschränkt und monoton steigend/fallend ist.
hab jetz ersma die monotonie bestimmt:
[mm] a_{n+1}=\wurzel[n+1]{\bruch{1}{(n+1)^{2}}}\le\wurzel[n+1]{\bruch{1}{n^{2}}}\le\wurzel[n]{\bruch{1}{n^{2}}}=a_{n}
[/mm]
=> [mm] a_{n+1} \le a_{n}
[/mm]
=> monoton fallend
wie zeige ich jetz aber das die folge beschränkt ist?
man kann die konvergenz ja auch mit hilfe des cauchyschen konvergenzkriteriums bestimmen:
eine folge [mm] a_{n} [/mm] ist konvergent , falls
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_{0} (\varepsilon) [/mm]
[mm] |a_{n} [/mm] - [mm] a_{m}|<\varepsilon (\forall n,m\ge n_{0}(\varepsilon))
[/mm]
des bedeutet ja eigentlich das bei einer konvergenten folge ab einem bestimmten glied die differenzen zwischen (direkt) aufeinanderfolgenden gliedern kleiner wird/ist als ein wert [mm] \varepsilon
[/mm]
Wie kann man sowas aber nachweisen? mussich das mit den variablen n,m umformen oder bestimmte werte einsetzen? bin noch nich ganz hinter das verfahren gekommen.
Danke im vorraus für hilfe und geistesblitze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Mi 17.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Konvergiert die unendliche Folge
> [mm]a_{n}=(n^{-2})^{\bruch{1}{n}}[/mm]
> Hallo liebe helfer
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> eine folge ist ja konvergent wenn sie beschränkt und
> monoton steigend/fallend ist.
>
> hab jetz ersma die monotonie bestimmt:
>
> [mm]a_{n+1}=\wurzel[n+1]{\bruch{1}{(n+1)^{2}}}\le\wurzel[n+1]{\bruch{1}{n^{2}}}\le\wurzel[n]{\bruch{1}{n^{2}}}=a_{n}[/mm]
>
> => [mm]a_{n+1} \le a_{n}[/mm]
> => monoton fallend
>
> wie zeige ich jetz aber das die folge beschränkt ist?
[mm] 1/n^2 \le [/mm] 1, also auch 0< [mm] a_n \le [/mm] 1
FRED
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> man kann die konvergenz ja auch mit hilfe des cauchyschen
> konvergenzkriteriums bestimmen:
>
> eine folge [mm]a_{n}[/mm] ist konvergent , falls
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists n_{0} (\varepsilon)[/mm]
>
> [mm]|a_{n}[/mm] - [mm]a_{m}|<\varepsilon (\forall n,m\ge n_{0}(\varepsilon))[/mm]
>
> des bedeutet ja eigentlich das bei einer konvergenten folge
> ab einem bestimmten glied die differenzen zwischen (direkt)
> aufeinanderfolgenden gliedern kleiner wird/ist als ein wert
> [mm]\varepsilon[/mm]
> Wie kann man sowas aber nachweisen? mussich das mit den
> variablen n,m umformen oder bestimmte werte einsetzen? bin
> noch nich ganz hinter das verfahren gekommen.
>
> Danke im vorraus für hilfe und geistesblitze
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