Konvergenz unendliche Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Mo 26.01.2009 | | Autor: | stevies |
| Aufgabe | Konvergiert die unendliche Reihe:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{log ( 1 + \bruch{1}{k})}{log ( k^{log(k+1)}}
[/mm]
Man berechne im Falle der Konvergenz den Reihenwert |
Meine erste Frage hier wäre mit welchem Konvergenzkriterium ich überhaupt zeigen kann, dass diese Reihe konvergiert. Bin da gerade etwas ratlos weil mich diese ganze Logarithmen doch etwas stark verwirren. Als erster Ansatz würde mir also erst einmal genügen welches Kriterium ich hier anwenden könnte, weil ich gerade nicht den kleinsten Schimmer habe welches sich hier eigenen würde (Hospital, Quotienten oder eine passende Majorante?)
Bin für jeden Tipp dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Di 27.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo stevies!
Bevor ich hier an irgendwelche Konvergenzkriterien denke, würde ich erstmal schön gemäß  Logarithmusgesetzen umformen:
[mm] $$\bruch{\log \left( 1 + \bruch{1}{k}\right)}{\log \left( k^{\log(k+1)}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\log \left(\bruch{k+1}{k}\right)}{\log \left( k^{\log(k+1)}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\log (k+1)-\log(k)}{\log(k+1)*\log (k)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\log (k+1)}{\log(k+1)*\log (k)}-\bruch{\log(k)}{\log(k+1)*\log (k)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\log (k)}-\bruch{1}{\log(k+1)}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Di 27.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo stevies!
Für Konvergenzverhalten und Grenzwert solltest Du ma Richtung "Teleskopsumme" denken.
Gruß
Loddar
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