Konvergenz uneig. Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Konvergiert das uneigentliche Integral? Man berechne ggf. den Wert.
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{ \wurzel[3]{x^{2}}} dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie kann ich da integrieren? Ich tippe mal auf eine geschickte Substitution, nur steh ich gerade auf dem Schlauch. Hat einer ne Idee?
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Ich würde bei dieser Aufgabe folgendermaßen vorgehen:
Klar ist doch, dass bei 0 eine Unstetigkeit der Funktion auftritt. Weiterhin ist die Funktion achsensymmetrisch. Es ist dann also
[mm] \integral_{-1}^{1}{ \bruch{1}{\wurzel[3]{x}^{2}} dx}= \integral_{-1}^{0}{ \bruch{1}{\wurzel[3]{x}^{2}} dx}+ \integral_{0}^{1}{ \bruch{1}{\wurzel[3]{x}^{2}} dx}=2 \integral_{0}^{1}{ \bruch{1}{\wurzel[3]{x}^{2}} dx} [/mm] . ..
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.. ja nur wie geht es weiter.. mein Probelm besteht darin,
[mm] \bruch{1}{ \wurzel[3]{x^{2}}}
[/mm]
aufzuleiten...
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ahso,
ja, schreibe am Besten [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{x^{2}}} [/mm] als [mm] x^{ -\bruch{2}{3}}. [/mm] Das Integral davon zu bestimmen dürfte ja net so schwer sein... (Exponenten um eins erhöhen, anschließend den Kehrwert des neuen Exponenten damit multiplizieren ...) Es gilt dann also, dass [mm] x^{ \bruch{1}{3}} [/mm] eine Stammfunktion dazu ist. Ableiten, dann siehst du, dass keine innere Ableitung vorkommt.
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Vorsicht... es heißt [mm] x^{2}.. [/mm] du darfst also die innere Ableitung nicht vergessen...
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Nein, nein. Dadurch, dass wir hier eine andere Form der Notation wählen, wird die innere Ableitung überflüssig. Denn es gilt nach Satz x aus Analysis I, dass die Ableitung der Funktion [mm] f(x)=x^{a}, f'(x)=ax^{a-1} [/mm] ist, a [mm] \in \IR. [/mm] Insbesondere gilt also in deinem Beispiel:
[mm] (3x^{\bruch{1}{3}})'=x^{-\bruch{2}{3}}
[/mm]
Zum Beweis einfach mal im Forster nachschlagen  Also ist dies die gesuchte Stammfunktion
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Sorry, bin ich doof... Denkfehler meinerseits... Du hast natürlich vollkommen recht. Dann ist das doch recht simpel "aufleitbar"...
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hallo ,
du kansst die funktion einfach integrieren dann die Werte einsetzen
[mm] 3\wurzel[3]{x^2} [/mm] das ist die Stammfunktion und wenn du die Werte 1 und -1 eingibst bekommst du bei erstem Teil 1 und zweiten Teil einen undefinierten Ausdruck. dh das uneigentliche Integral existiert nicht
ok
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entschuldigung gab es einen Tippfehler bei der Stammfunktion .Die müsste so [mm] sein:3\wurzel[3]{x} [/mm] und wie gesagt , wenn du die obere und untere Grenze einsetzt, dann bekommst du 1- undefinierte Ausdruck
dh. das uneigentliche Integral existiert nicht
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Das Integral existiert und hat den Wert 6.
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Kannst du auch sagen wie du zu der Erkenntnis kommst?
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[mm]F(x) = 3 \sqrt[3]{x}[/mm] ist Stammfunktion für [mm]x>0[/mm]. Da [mm]F(x)[/mm] in [mm]x \geq 0[/mm] stetig ist, folgt
[mm]\int_{-1}^1~\ldots \ = \ 2 \cdot \int_0^1~\ldots \ = \ 2 \cdot \left( F(1) - F(0) \right)[/mm]
Der erste Umformungsschritt ist wegen der Symmetrie des Integranden möglich.
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