Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:01 Do 10.11.2011 | | Autor: | Biensche |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die nachstehende Folge für n [mm] \to \infty [/mm] konver-
giert und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert (mit kurzer Begrüundung).
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] |
Hallo!
Ich habe mir die Folge mal mit dem GTR zeichnen lassen und habe die Vermutung, dass der Grenzwert 1 ist.
Dann habe ich mir überlegt, ob ich nicht evtl. die Summe in eine "explizite" Form bringen kann.
Ich habe mir überlegt, dass
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] .
Ich habe es auch schon mit vollständger Induktion bewiesen und dann von [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] den Grenzwert bestimmt.
Also: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n+1} [/mm] =1 , was meine Vermutung vom Anfang war.
Nun meine Frage: Kann ich das so machen?
Und wenn ja, wie bestimme ich den Grenzwert von so einer Summe, wenn ich sie nicht so leicht in eine "explizite" Form umformen kann?
Und wenn nicht, wie muss ich dann vorgehen?
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe:)
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Biensche,
> Entscheiden Sie, ob die nachstehende Folge für n [mm]\to \infty[/mm]
> konver-
> giert und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert (mit kurzer
> Begrüundung).
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k*(k+1)}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe mir die Folge mal mit dem GTR zeichnen lassen und
> habe die Vermutung, dass der Grenzwert 1 ist.
Ok, so bekommt man oft schon mal einen Eindruck. Nötig ist es aber nicht unbedingt.
> Dann habe ich mir überlegt, ob ich nicht evtl. die Summe
> in eine "explizite" Form bringen kann.
> Ich habe mir überlegt, dass
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k*(k+1)}[/mm] = [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] .
Guter Fund.
> Ich habe es auch schon mit vollständger Induktion
> bewiesen und dann von [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] den Grenzwert
> bestimmt.
Ok, dann wäre diese Folge also erledigt.
> Also: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n+1}[/mm] =1 , was
> meine Vermutung vom Anfang war.
>
>
> Nun meine Frage: Kann ich das so machen?
> Und wenn ja, wie bestimme ich den Grenzwert von so einer
> Summe, wenn ich sie nicht so leicht in eine "explizite"
> Form umformen kann?
> Und wenn nicht, wie muss ich dann vorgehen?
Die hier definierte Folge ist ja eigentlich eine Reihe. Und für die gibt es mehrere Konvergenzkriterien. Hattet Ihr die schon?
Auch die helfen nicht immer weiter. Hier versagen z.B. sowohl das Quotienten- als auch das Wurzelkriterium, mit denen sonst ziemlich viel zu erledigen ist.
Einen ganz allgemeinen Weg gibt es nicht, aber mit den Standarduntersuchungen kommt man oft schon ziemlich weit - ist die hier definierte Folge (wie gesagt, ja eigentlich eine Reihe) monoton? Das ist hier der Fall: sie ist streng monoton wachsend. Also ist interessant, ob sie nach oben beschränkt ist. Findet man eine bekannte Folge (Reihe), die größer ist, aber beschränkt? Das wäre das Majorantenkriterium.
Am besten ist es natürlich, wenn man - wie Du oben - tatsächlich eine Summenformel findet. Anhand dieser ist es normalerweise leicht zu entscheiden, ob ein Grenzwert existiert, und welcher.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Do 10.11.2011 | | Autor: | Biensche |
Also die ganzen Kriterien hatten wir noch nicht (haben erst in der letzten Vorlesung mit Konvergenz von Folgen angefangen).
Meinst du mit dem Majorantenkriterium, dass aus Monotonie und Bekränktheit Konvergenz folgt? Das hatten wir als Satz bereits in der VL.
Vielen Dank für deine Antwort. Sie war sehr hilfreich ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Do 10.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also die ganzen Kriterien hatten wir noch nicht (haben erst
> in der letzten Vorlesung mit Konvergenz von Folgen
> angefangen).
>
> Meinst du mit dem Majorantenkriterium, dass aus Monotonie
> und Bekränktheit Konvergenz folgt?
Nein, das ist damit nicht gemeint. Gedulde Dich noch ein wenig bis Ihr in der VL mit unendlichen Reihen begonnen habt. Da kommen dann solche Kriterien.
FRED
> Das hatten wir als Satz
> bereits in der VL.
>
>
>
> Vielen Dank für deine Antwort. Sie war sehr hilfreich ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:43 Do 10.11.2011 | | Autor: | Biensche |
Danke, dann warte ich noch ein bisschen und gedulde mich ;)
Danke für die Hilfe.
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