Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Di 07.12.2010 | | Autor: | Lisa_M |
| Aufgabe | Bestimme, ob die Folge [mm] (an)n\in\IN [/mm] konvergent ist und gebe den Grenzwert an.
[mm] an=\bruch{(3n-2)*(3n+2)}{(1-\wurzel{n})*(1+\wurzel{n})} [/mm] |
Das ist meine erste Beruehrung mit dieser Aufgabenstellung seit langer Zeit und ich wollte fragen, ob mein Verstaendnis fuer das Vorgehen richtig ist.
1. Folge nach moeglichkeit vereinfachen.
- dritte binomische Formel im Zaehler und Nenner
--> [mm] \bruch{3n^{2}-4}{1-n}
[/mm]
2. Ich probiere mehrere Zahlen in die Folge einzufuegen, bis ich einen
Grenzwert finde --> Konvergenz
f(-1000)=2996,9
f(-500)=1496,9
f(0)=-4
f(500)=-1502
f(1000)=-3002
[mm] f(-1.000.000)=2,09*10^6
[/mm]
[mm] f(1.000.000)=-3*10^6
[/mm]
-->Ich nehme an, es existiert kein Grenzwert
3. Finde ich keinen Grenzwert, ist die Folge divergent.
-->Die Folge ist divergent.
Ist das Vorgehen korrekt?
Gibt es noch eine andere Moeglichkeit zur Grenzwertbestimmung?
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Hallo Lisa,
> Bestimme, ob die Folge [mm](an)n\in\IN[/mm] konvergent ist und gebe
> den Grenzwert an.
> [mm]an=\bruch{(3n-2)*(3n+2)}{(1-\wurzel{n})*(1+\wurzel{n})}[/mm]
> Das ist meine erste Beruehrung mit dieser Aufgabenstellung
> seit langer Zeit und ich wollte fragen, ob mein
> Verstaendnis fuer das Vorgehen richtig ist.
>
> 1. Folge nach moeglichkeit vereinfachen.
> - dritte binomische Formel im Zaehler und Nenner ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> --> [mm]\bruch{3n^{2}-4}{1-n}[/mm]
Eher [mm] $\frac{9n^2-4}{1-n}$
[/mm]
> 2. Ich probiere mehrere Zahlen in die Folge einzufuegen,
> bis ich einen
> Grenzwert finde --> Konvergenz
>
> f(-1000)=2996,9
> f(-500)=1496,9
> f(0)=-4
> f(500)=-1502
> f(1000)=-3002
> [mm]f(-1.000.000)=2,09*10^6[/mm]
> [mm]f(1.000.000)=-3*10^6[/mm]
> -->Ich nehme an, es existiert kein Grenzwert
Ja!
>
> 3. Finde ich keinen Grenzwert, ist die Folge divergent.
> -->Die Folge ist divergent.
> Ist das Vorgehen korrekt?
> Gibt es noch eine andere Moeglichkeit zur
> Grenzwertbestimmung?
Ja, klammere in dem "vereinfachten" Term (also nach Anwendung der bin. Formel) in Zähler und Nenner jeweils n aus, kürze es weg und schaue, was dann für [mm] $n\to\infty$ [/mm] passiert ...
Gruß
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Di 07.12.2010 | | Autor: | Lisa_M |
| Aufgabe | | $ [mm] \frac{9n^2-4}{1-n} [/mm] $ |
Okay, danke.
Mir ist gerade aufgefallen, dass ich alle negativen Zahlen gar nicht brauche, da wir ja die [mm] \IN [/mm] haben.
Sehe ich richtig, dass ich hier n nicht ausklammern und kürzen kann?
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Hallo nochmal,
> [mm]\frac{9n^2-4}{1-n}[/mm]
> Okay, danke.
> Mir ist gerade aufgefallen, dass ich alle negativen Zahlen
> gar nicht brauche, da wir ja die [mm]\IN[/mm] haben.
Das ist ein komischer Satz ...
>
> Sehe ich richtig, dass ich hier n nicht ausklammern und
> kürzen kann?
Doch, habe ich dir doch angeraten
[mm]\frac{9n^2-4}{1-n}=\frac{n\cdot{}\left(9n-\frac{4}{n}\right)}{n\cdot{}\left(\frac{1}{n}-1\right)}=\frac{9n-\frac{4}{n}}{\frac{1}{n}-1}[/mm]
Was passiert hier nun für [mm]n\to\infty[/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Di 07.12.2010 | | Autor: | Lisa_M |
[mm] \bruch{9*\infty - \bruch{4}{\infty}}{\bruch{1}{\infty}-1}=\bruch{\infty }{-1}=-\infty
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Di 07.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa!
Das Endergebnis stimmt so.
Gruß
Loddar
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