Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche die Folge auf Konvergenz und bestimme ggf. den Grenzwert.
[mm] a_{n}= \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] |
Meine Lösung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}( \bruch{1}{n}* \wurzel{n^2*(n+1)} -\bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \wurzel{n^3})
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n}* \wurzel{n^2*(n+1)}) [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \wurzel{n^3}) [/mm] = 0-0=0
Richtig?
Und nun möchte ich das ganze gerne mit dem [mm] \varepsilon-Kriterium [/mm] überprüfen:
[mm] |a_{n}-0|< \varepsilon
[/mm]
=| [mm] \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] -0|= [mm] \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
=( [mm] \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n})^2 [/mm] < [mm] \varepsilon^2
[/mm]
=2n+1- 2* [mm] \wurzel{n^2 +n} [/mm] < [mm] \varepsilon^2
[/mm]
und jetzt komme ich nicht weiter, kann mir jemand einen Hinweis geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Big Head!
Deine Umformungen zur Ermittlung des Grenzwertes erschließen sich mir überhaupt nicht und sehen sehr misteriös (um nicht zu sagen: falsch) aus.
Erweitere den Term mit [mm]\left( \ \wurzel{n+1} \ \red{+} \ \wurzel{n} \ \right)[/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Big_Head68,
> Untersuche die Folge auf Konvergenz und bestimme ggf. den
> Grenzwert.
>
> [mm]a_{n}= \wurzel{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel{n}[/mm]
> Meine Lösung:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel{n})[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}( \bruch{1}{n}* \wurzel{n^2*(n+1)} -\bruch{1}{n}[/mm] * [mm]\wurzel{n^3})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Richtig bis hierhin
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]\bruch{1}{n}* \wurzel{n^2*(n+1)})[/mm] - [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]\bruch{1}{n}[/mm] * [mm]\wurzel{n^3})[/mm]
Wieso darfst du das machen?
Die Grenzwertsätze greifen hier nicht. Beide Einzelgrenzwerte existieren nicht, bzw. sind [mm]\infty[/mm] ...
> = 0-0=0
Nein, oben steht nach dem Grenzübergang [mm]\infty-\infty[/mm]
Das ist ein "problematischer" Ausdruck 
>
> Richtig?
0 ist zwar der GW, aber die Begründung hakt ab dem oben markierten Schritt.
Besser Roadrunners Weg verfolgen
>
> Und nun möchte ich das ganze gerne mit dem
> [mm]\varepsilon-Kriterium[/mm] überprüfen:
>
> [mm]|a_{n}-0|< \varepsilon[/mm]
> =| [mm]\wurzel{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel{n}[/mm] -0|=
> [mm]\wurzel{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> =( [mm]\wurzel{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel{n})^2[/mm] < [mm]\varepsilon^2[/mm]
> =2n+1- 2* [mm]\wurzel{n^2 +n}[/mm] < [mm]\varepsilon^2[/mm]
Nein, auch hier hilft die Erweiterung, die Roadrunner vorgeschlagen hat.
Du kommst dann auf [mm]|a_n-0|=\ldots=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}[/mm]
Nun kannst du einen (positiven) Bruch vergrößern, wenn du den Nenner verkleinerst, schätze also [mm]\sqrt{n+1}[/mm] gegen [mm]\sqrt{n}[/mm] ab (das ist ja kleiner) und du kommst schnell an das gesuchte [mm]N(\varepsilon)[/mm]
>
> und jetzt komme ich nicht weiter, kann mir jemand einen
> Hinweis geben?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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ich habe jetzt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{ \wurzel{n+1}+ \wurzel{n}}
[/mm]
der Ausdruck im Nenner ist nicht beschränkt nach oben, also konvergiert der Bruch gegen 0
So besser?
[mm] |a_{n}-0|= \bruch{1}{ \wurzel{n+1}+ \wurzel{n}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{ \wurzel{n+1}}< \bruch{1}{ \wurzel{n}}< \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{n}< \varepsilon^2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] n> [mm] \bruch{1}{\varepsilon^2}
[/mm]
Richtig?
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Hallo Big Head!
So sieht es schon viel besser aus.
Gruß vom
Roadrunner
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