matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenKonvergenz sin x
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz sin x
Konvergenz sin x < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz sin x: Konvergenzbegriff
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:00 So 14.11.2010
Autor: pppppp

Aufgabe
Ist der sin x konvergent?


Hi, das ist keine Aufgabe sondern eine Frage, die ich mir selbst gestellt habe. Laut Skript und laut diverser Internetseiten ist der sin x konvergent.

Da aber sin x zwar beschränkt, aber nicht monoton ist, ist er also genauso eindeutig divergent wie diese Schlussfolgerung falsch ist. Aber wieso? Kann ich das (beschränkt + monoton -> konvergent)-Kriterium zwar bei Folgen, aber nicht bei Reihen verwenden?


Mit dem Quotientenkriterium konnte ich danach dann selbst die Konvergenz beweisen. :-)

[mm]sin x = \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]

ergo

[mm]q = |\bruch{\bruch{(-1)^{n+1}x^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}}{\bruch{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}}|[/mm]


[mm]q =| \bruch{\bruch{\red{x^{2n+1}}x^2}{\green{(2n+1)!}(2n+2)(2n+3)}}{\bruch{\red{x^{2n+1}}}{\green{(2n+1)!}}}|[/mm]

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |q| = \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{x^2}{(2n+2)(2n+3)}|= 0[/mm][mm]<1[/mm]  -> absolut konvergent





PS: ein allgemeines Danke für all die schnellen Antworten auf meine anderen Fragen [respekt2]


        
Bezug
Konvergenz sin x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:14 So 14.11.2010
Autor: reverend

Hallo 6p,

> Ist der sin x konvergent?

das ist ein bisschen kraus gefragt. Der [mm] \sin{x} [/mm] ist für [mm] x\to\infty [/mm] natürlich nicht konvergent.
Hier geht es aber um die Reihenentwicklung des Sinus, und die ist für jedes x für [mm] \blue{n}\to\infty [/mm] konvergent.

> Hi, das ist keine Aufgabe sondern eine Frage, die ich mir
> selbst gestellt habe. Laut Skript und laut diverser
> Internetseiten ist der sin x konvergent.

Nein, das ist so falsch. Siehe oben.

> Da aber sin x zwar beschränkt, aber nicht monoton ist, ist
> er also genauso eindeutig divergent wie diese
> Schlussfolgerung falsch ist.

Was untersuchst Du denn nun, die Funktion [mm] \sin{x} [/mm] oder die Reihenentwicklung der Funktion an einer beliebigen, aber festen Stelle [mm] x_0 [/mm] ?

> Aber wieso? Kann ich das
> (beschränkt + monoton -> konvergent)-Kriterium zwar bei
> Folgen, aber nicht bei Reihen verwenden?

Hmm. Ist Dir der Unterschied zwischen Folgen und Reihen klar? Eine Reihe ist nur dann konvergent, wenn die summierte Folge eine Nullfolge ist (das Trivialkriterium). Allerdings ist sie nicht etwa "genau dann" konvergent, sondern es gibt noch eine Reihe weiterer Kriterien.

Wenn Du allerdings Deine Reihe umwandeln kannst in eine Partialsummenfolge, dann kannst Du Dein Kriterium durchaus anwenden.

> Mit dem Quotientenkriterium konnte ich danach dann selbst
> die Konvergenz beweisen. :-)
>
> [mm]sin x = \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>  
> ergo
>  
> [mm]q = |\bruch{\bruch{(-1)^{n+1}x^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}}{\bruch{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}}|[/mm]
>  
>
> [mm]q =| \bruch{\bruch{\red{x^{2n+1}}x^2}{\green{(2n+1)!}(2n+2)(2n+3)}}{\bruch{\red{x^{2n+1}}}{\green{(2n+1)!}}}|[/mm]
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |q| = \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{x^2}{(2n+2)(2n+3)}|= 0[/mm][mm]<1[/mm]
>  -> absolut konvergent

Nu guck. Jetzt berücksichtigst Du sogar (mit den Betragsstrichen), dass es sich um eine alternierende Reihe handelt.

> PS: ein allgemeines Danke für all die schnellen Antworten
> auf meine anderen Fragen [respekt2]

Wie nett. Ernst gemeint. :-)

Grüße
reverend


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]