Konvergenz rekursiver Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Fr 01.12.2006 | | Autor: | IrisL. |
| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in \IR. [/mm] Definiere die Foge [mm] (a_{n}) [/mm] durch:
[mm] a_{0}:=a, a_{1}:=b, a_{n}:= [/mm] 1/2 [mm] (a_{n-1}+a_{n-2}).
[/mm]
Man beweise,daß die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] konvergiert und bestimme ihren Grenzwert. |
Huhu!
Also den Grenzwert der Folge habe ich mit g=(a+2b)/3 bestimmt.
Da die Folge nicht monoton ist (sie springt immer links und rechts um den Grenzwert), kann ich also die Existenz eines Grenzwertes nicht über Beschränktheit und Monotonie nachweisen.
Deswegen habe ich versucht folgendes abzuschätzen:
[mm] a_{n}-g. [/mm] Das müsste ja gegen 0 gehen. Aber irgendwie komme ich auch durch Einsetzen auf keinen grünen Zweig.
Hat jemand eine Idee, wie ich hier weitermachen kann?
Gruß
Iris
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Fr 01.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Iris
Die Rekursionsformel sagt doch dass [mm] $a_n$ [/mm] das arithmetische Mittel von [mm] $a_{n-1}$ [/mm] und [mm] $a_{n-2}$ [/mm] ist. Dann ist doch die Folge beschränkt und die Differenz aufeinanderfolgender Glieder geht gegen 0 und die Folge nimmt abwechlungsweise ab und zu. Nach dem Leibnizkriterium existiert der Grenzwert.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Fr 01.12.2006 | | Autor: | IrisL. |
Hallo!
Wenn ich unter Wikipedia nachsehe, steht dort, daß eine notwendiges Kriterium für die Leibnikkriterium die Montonie ist. Diese Folge ist aber nicht monoton, wie kann ich dann also mit dem Leibniz-Kriterium argumentieren?
Und woher weiß ich, daß die Differenz zweier Folgeglieder gegen Null geht?
Gruß
Iris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Fr 01.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Iris
Da das arithmetische Mittel zweier Zahlen in der Mitte ist, halbiert sich die Differenz aufeinanderfolgender Zahlen. Das allein reicht schon für die Konvergenz der Folge.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Fr 01.12.2006 | | Autor: | IrisL. |
Huhu Moudi!
Okay, das versteh sogar ich. ;)
Ist denn mein vorgeschlagener Grenzwert jedenfalls richtig?
Und wie beweise ich das er es ist?
Wir haben noch drei weitere Aufgaben, die ähnlich funktionieren, daher würde ich gerne zumindest diese eine einmal richtig durchgehen.
Gruß
Iris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Fr 01.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Iris
Nach dem vorher gesagten gilt
[mm] $a_0-a_1=a-b$
[/mm]
[mm] $a_1-a_2=(b-a)/2$
[/mm]
[mm] $a_2-a_3=(a-b)/4$ [/mm] etc.
Summierst du bis n, so bekommst du links [mm] $a_0-a_n$ [/mm] und rechts eine geometrische Reihe mit Quotient [mm] $-\frac12$.
[/mm]
Jetzt macht du den Limes [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Fr 01.12.2006 | | Autor: | IrisL. |
Huhu!
Dann erhalte ich also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n} (a-b)*(\bruch{-1}{2})^{k}=\limes_{n\rightarrow\infty}(a-b)*\bruch{1-(-\bruch{1}{2})^{n+1}}{1+\bruch{1}{2}}=(a-b)*\bruch{1}{1,5}=\bruch{2}{3}(a+b).
[/mm]
Stimmt das soweit?
Gruß
Iris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Fr 01.12.2006 | | Autor: | moudi |
> Huhu!
Hallo Iris
>
> Dann erhalte ich also
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n} (a-b)*(\bruch{-1}{2})^{k}=\limes_{n\rightarrow\infty}(a-b)*\bruch{1-(-\bruch{1}{2})^{n+1}}{1+\bruch{1}{2}}=(a-b)*\bruch{1}{1,5}=\bruch{2}{3}(a+b).[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Beachte, dass das erst [mm] $a_0-g$ [/mm] ist.
mfG Moudi
>
> Gruß
> Iris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Fr 01.12.2006 | | Autor: | IrisL. |
Huhu!
Ach nö! :(
Dann brauche ich will noch einen Tipp wie ich auf [mm] a_{n}-g [/mm] komme.
Gruß
Iris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Iris!
In obiger moudi's Antwort hat er ja mehrere Gleichungen (Differenzen) addiert.
Und auf der linken Seite verbleibt nach dem Zusammenfassen [mm] $a_0-a_n$ [/mm] .
Mit der Grenzwertbetrachtung wird hieraus: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(a_0-a_n\right) [/mm] \ = \ [mm] a_0-\limes_{n\rightarrow\infty}a_n$
[/mm]
Und nun setzen wir ein [mm] $a_0 [/mm] \ := \ a$ sowie [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ =: \ g$ .
Damit erhalten wir dann folgende Gleichung (mit Deinem Ergebnis auf der rechten Seite):
$a-g \ = \ [mm] \bruch{2}{3}*(a-b) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3}*a-\bruch{2}{3}*b$
[/mm]
Nun als letzten Schritt nach $g \ = \ ...$ umstellen, und Du solltest ein bekanntes Ergebnis erhalten.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Fr 01.12.2006 | | Autor: | IrisL. |
Huhu!
Super!  Vielen, vielen Dank Euch beiden!
Gruß
Iris
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