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| Aufgabe | Sei x>0. Die Folge [mm] (an)_n\in\IN [/mm] sei rekursiv definiert durch [mm] a_1= [/mm] 1 und [mm] a_n_+_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] a_n [/mm] + [mm] \bruch{x}{a_n}).
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert. |
Hallo,
ich weiß bei dieser Aufgabe nicht genau, wie ich anfangen soll. Was mich daran stört, ist das x. Wie kann ich bei dieser Aufgabe dann die Konvergenz und den Grenzwert nachweisen, wenn ich nur weiß, dass x>0 ist?
Es wäre toll, wenn mir jemand (evt. auch an einem anderen Beispiel) zeigen kann, wie man dabei vorgehen muss.
Vielen Dank!
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Guten Abend,
> Sei x>0. Die Folge [mm](an)_n\in\IN[/mm] sei rekursiv definiert
> durch [mm]a_1=[/mm] 1 und [mm]a_n_+_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ( [mm]a_n[/mm] + [mm]\bruch{x}{a_n}).[/mm]
> Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
Das Verfahren ist auch unter dem Namen Heron-Verfahren bekannt, dabei wird die Wurzel von x berechnet.
Zeige [mm] a_{n+1}\geq a_n\geq \sqrt{x} [/mm] für [mm] n\geq2.
[/mm]
Damit ist [mm] a_n [/mm] fallend und nach unten beschränkt, konvergiert also. Für den Grenzwert a muss gelten
[mm] a=\frac{1}{2}\left(a+\frac{x}{a}\right).
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Michi46535 |
Das ging schnell. Vielen Dank :)
Das bringt mich echt weiter!
Schönen Abend!
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Hallo,
ich hänge immer noch an der Aufgabe. Ich komme einfach auf kein Ergebnis. Wie kann ich [mm] a_{n+1}\geq a_n\geq \sqrt{x} [/mm] für [mm] n\geq2 [/mm] zeigen? Ich stehe echt total auf dem Schlauch. Es wäre nett, wenn mir jemand die Schritte erklären könnte, die ich zu tun habe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:33 Di 15.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
setz mal x=2 dann fällt es dir vielleicht leichter,
zeige zuerst dass [mm] a_n [/mm] für n>2 [mm] a_n>\wurzel{2} [/mm] benutze das dann um [mm] a_{n+1}
fang mit irgendeinem a1 an, bestimme [mm] a_2^2>2 [/mm] daraus [mm] a_n^2>2
[/mm]
am Ende kannst du alle "2" durch x ersetzen. (nicht die in 1/2!
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:47 Di 15.11.2011 | | Autor: | Michi46535 |
Ok ich versuche es mal so. Vielen Dank, für die Mühe zu dieser Zeit!
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