Konvergenz rekurs. Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Do 29.12.2005 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Man beweise die Konvergenz der rekursiv durch
[mm] x_{0} [/mm] := 1; [mm] x_{n+1} [/mm] := [mm] \bruch{x_{n}}{1+x_{n}} [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 0,
definierten Folge und bestimme ihren Grenzwert. |
Guten Morgen an alle.
ich hoffe, ihr hattet ein paar schöne Weihnachtsfeiertage.
Nun geht aber der Ernst des Lebens weiter.
Die ganze Zeit haben wir irgendwas gelernt nun dürfen wir endlich
rechnen... und das scheitert an fehlender Übung... Ich hoffe, mir
kann jemand helfen... denn logisch ist alles nur die mathematische
Beweisführung an der scheitert es...
Ich habe erstmal ein paar Folgenglieder berechnet, da bin ich mir aber
nicht mal sicher, ob ich das richtig gemacht habe...
Sind die folgenden Folgenglieder richtig?
[mm] x_{0} [/mm] = 1
[mm] x_{1} [/mm] = 1/2
[mm] x_{2} [/mm] = 2/3
[mm] x_{3} [/mm] = 3/4
[mm] x_{4} [/mm] = 4/5
....
Daraus kann man jetzt schließen, dass die Folge zwischen 0 und 1 fällt und
ab 1 dann steigt... der Grenzwert ist 1.... (das habe ich mir mal aufgezeichnet)....
Im Prinzip hätten wir so etwas wie eine Anleitung bekommen... aber...naja... Kuchen backen ist einfacher...
Der erste Schritt wäre:
Es sei x Lösung der Gleichung (also wir nehmen an, es gibt einen Grenzwert und der sei x)
x = [mm] \bruch{x}{1+x} [/mm] (falls die Folge konvergiert, muss dies der Grenzwert sein)
zweiter Schritt:
Wir zeigen, dass die Folge im Intervall [ ] enthalten ist.
ich bin mir nicht sicher, ob man da das Intervall [1, x] oder [x,1]
schreibt...
Es gibt da einen Induktionsanfang, einen Induktionsschritt und dann
soll rauskommen, das x untere Schranke bzw. obere Schranke ist...
da nun aber die Folge von 0 bis 1 fällt und 0,5 untere Schranke ist und
1 obere Schranke (wenn die Folgenglieder richtig berechnet sind) weiß ich nicht, wie man das mathematisch aufschreibt.
Dritter Schritt:
die Folge ist [ ] fallend
die Folge ist [ ] steigend
Dadurch, dass mir Schritt 1 und 2 halb fehlt, ist der dritte Schritt
offen...
Also ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen...
Vielen Dank im Voraus
Gruß
Doreen
Diese Frage habe ich keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Do 29.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Doreen!
Du hast bereits bei der Ermittlung der ersten Glieder etwas falsch gemacht:
[mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x_0}{1+x_0} [/mm] \ =\ [mm] \bruch{1}{1+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x_1}{1+x_1} [/mm] \ =\ [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{1+\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2*\bruch{3}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}$
[/mm]
[mm] $x_3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x_2}{1+x_2} [/mm] \ =\ [mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{1+\bruch{1}{3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3*\bruch{4}{3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}$
[/mm]
usw.
Es liegt hier also der Verdacht nahe, dass diese Folge explizit durch [mm] $x_n [/mm] \ := \ [mm] \bruch{1}{n+1}$ [/mm] dargestellt werden kann. Die könnte man nun mittels vollständiger Induktion beweisen und dann den entsprechenden Grenzwert ermitteln.
Es geht aber auch auf Deine Methode.
Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn sie sowohl monoton als auch beschränkt ist.
Du müsstest also zeigen, dass es für diese Folge eine untere Grenze gibt und auch die Eigenschaft "(streng) monoton fallend" nachweisen.
Beides funktioniert ebenfalls mittels vollständiger Induktion.
Dein Ansatz zur Ermittlung des Grenzwertes $x_$ mit $x \ = \ [mm] \bruch{x}{1+x}$ [/mm] ist richtig. Dies setzt aber voraus, dass der Grenzwert $x_$ auch wirklich existiert.
Was hast Du denn für $x_$ ermitteln können?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Doreen |
Hallo,
dadurch, dass mein Computer die ganze Zeit spinnt...
schreibe ich das jetzt zum dritten mal...
Ich habe versucht die Aufgabe zu lösen, es wäre jetzt natürlich toll, wenn
mir jemand sagen könnte, ob meine Lösung unigerecht ist...
Und um Loddar's Frage zu beantworten... für den Grenzwert habe ich NULL raus bekommen... vielen Dank für die Folgenglieder, jetzt weiß ich
wenigstens, wie man diese berechnet... weil so etwas bekommen wir
nicht gesagt...
Mein Lösungsweg:
Beschränktheit nach unten?
Frage: [mm] x_{n} \ge [/mm] 0 für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Induktion: [mm] x_{0} [/mm] = 1 [mm] \ge [/mm] 0
Induktionsschritt: [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{x_{n}}{1 + x_{n}} \ge \bruch{1}{2} \ge \bruch{1}{3} \ge [/mm] 0
Heuristisch:
Falls die Folge konvergiert, gilt für x = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}
[/mm]
x = [mm] \bruch{x}{1+x}
[/mm]
x * (1+x) = x
1+x = 1
x=0 (das wäre dann mein Grenzwert)
Zwischenschritt:
Wir zeigen [mm] x_{n} \ge [/mm] x für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] x_{0} [/mm] = 1 [mm] \ge [/mm] x
Induktionsschluss:
Ind.Vor. [mm] x_{n} \ge [/mm] x [mm] \Rightarrow x_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{x_{n}}{1 + x_{n}} \ge \bruch{x}{1+x} [/mm] = x
Zu zeigen: Folge ist monoton fallend:
Frage: [mm] x_{n+1} \le x_{n}
[/mm]
[mm] \bruch{x_{n}}{1+ x_{n}} \le x_{n}
[/mm]
[mm] x_{n} \le x_{n} [/mm] * [mm] (1+x_{n})
[/mm]
1 [mm] \le [/mm] 1 + [mm] x_{n}
[/mm]
0 [mm] \le x_{n}
[/mm]
hier sollte jetzt nachstehend ein Intervall kommen, für das das ganze gilt z. B. [x,0] aber irgendwie bin ich mit dem Beweis monoton fallend überhaupt nicht zufrieden... täte es nicht ausreichen, dass man zeigt, dass die Folge den Grenzwert 0 hat und sie gegen das Infimum 0 läuft ... und das Supremum 1 ist... usw. wenn ja, wie macht man das ?
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Gruß und vielen Dank
Doreen
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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