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| Aufgabe | | [mm] x^k [/mm] ableiten (2. Ableitung) und so umformen, dass [mm] (k+1)^2(-x)^k [/mm] als Ergebnis herraus kommt . |
Meine 2. Ableitung sieht so aus : k(k-1)x^(k-2)
Wie forme ich diesen Ausdruck nun um ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo heingummi, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Da stimmt doch was nicht.
> [mm]x^k[/mm] ableiten (2. Ableitung) und so umformen, dass
> [mm](k+1)^2(-x)^k[/mm] als Ergebnis herraus kommt .
Das kann nicht die Aufgabe sein. Entweder Du enthältst uns den wesentlichen Teil vor, oder die Aufgabe ist nicht lösbar.
> Meine 2. Ableitung sieht so aus : k(k-1)x^(k-2)
Das ist vollkommen richtig.
> Wie forme ich diesen Ausdruck nun um ?
Gar nicht. Das Ziel ist von hier aus nicht erreichbar.
Grüße
reverend
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| Aufgabe | Konvergenz der Reihe prüfen
[mm] (k+1)^2(-x)^k =(1-x)/(1+x)^3 [/mm] Hinweis : [mm] x^k [/mm] ableiten |
Ich muss halt die Konvergenz prüfen und mein Hinweis war es [mm] x^k [/mm] abzuleiten.
Da [mm] x^k [/mm] die geometrische Reihe ist und gegen den Grenzwert 1/1-x konvergiert , soll ich nun des halt irgendwie beweisen.
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Hallo,
> Konvergenz der Reihe prüfen
> [mm](k+1)^2(-x)^k =(1-x)/(1+x)^3[/mm] Hinweis : [mm]x^k[/mm] ableiten
Ich sehe keine Reihe ...
Kann es sein, dass da stehen soll: [mm]\sum\limits_{k\ge 0}(k+1)^2(-x)^k=\frac{1-x}{(1+x)^3}[/mm] ?
> Ich muss halt die Konvergenz prüfen und mein Hinweis war
> es [mm]x^k[/mm] abzuleiten.
Wohl eher [mm]\sum\limits_{k\ge 0}(-x)^k[/mm] abzuleiten ...
> Da [mm]x^k[/mm] die geometrische Reihe ist
Das ist nur eine läppische x-Potenz. Eine geometr. Reihe wäre [mm]\sum\limits_{k\ge 0}x^k[/mm]
> und gegen den Grenzwert
> 1/1-x konvergiert , soll ich nun des halt irgendwie
> beweisen.
Es ist für [mm]|x|<1[/mm]:
[mm]\sum\limits_{k\ge 0}(-x)^k=\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x}[/mm]
Beide Seiten differenzieren:
[mm]\sum\limits_{k\ge 1}-k(-x)^{k-1}=-\frac{1}{(1+x)^2}[/mm]
Nochmal beiderseits differenzieren:
[mm]\sum\limits_{k\ge 2}k(k-1)(-x)^{k-2}=\frac{2}{(1+x)^3}[/mm]
Nun kannst du linkerhand eine Indexverschiebung machen: erniedrige k an der Summe um 2 und gleiche das aus, indem du k in der Summe entsprechend um 2 erhöhst:
[mm]\sum\limits_{k\ge 0}(k+2)(k+1)(-x)^k=\frac{2}{(1+x)^3}[/mm]
Nun bringe mal die linke Seite auf die gesuchte Form: bedenke: [mm]k+2=(k+1)+1[/mm]
Ich habs nicht zuende gerechnet, aber das ist ja auch deine Aufgabe 
Stoff zum Anfangen hast du ja jetzt genug
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | R= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (k+1)^2(-x)^k [/mm] = [mm] (1-x)/(1+x)^3
[/mm]
für |x| < 1 und mein Hinweis ist [mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^k [/mm] ableiten |
Prüfen Sie die Konvergenz der Reihe und beweisen Sie die Beziehung.
So das ist nun die vollständige Aufgabenstellung (sorry) .
Und wie kann ich nun durch Ableitung usw diesen Ausdruck erreichen ?
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Hallo nochmal,
> R= [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (k+1)^2(-x)^k[/mm] = [mm](1-x)/(1+x)^3[/mm]
>
> für |x| < 1 und mein Hinweis ist [mm]\summe_{k=0}^{\infty} x^k[/mm]
> ableiten
> Prüfen Sie die Konvergenz der Reihe und beweisen Sie die
> Beziehung.
>
> So das ist nun die vollständige Aufgabenstellung (sorry)
> .
>
> Und wie kann ich nun durch Ableitung usw diesen Ausdruck
> erreichen ?
Hast du meine Antwort nicht gelesen?
Ich habe es dir bis kurz vor dem Ende vorgerechnet.
Die letzten kleinen Umformungen sollst du machen oder konkret fragen, wo es klemmt.
Also: was ist unklar?
Gruß
schachuzipus
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wenn ich weiter umforme bekomme aber heraus:
= [mm] 1+(k+1)(k+1)(-x)^k
[/mm]
= [mm] 1+(k+1)^2(-x)^k
[/mm]
aber dieser Ausdruck stimmt nicht mit der Aufgabenstellung überein ??
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Hallo nochmal,
> wenn ich weiter umforme bekomme aber heraus:
>
> = [mm]1+(k+1)(k+1)(-x)^k[/mm]
>
> = [mm]1+(k+1)^2(-x)^k[/mm]
Wie kommst du darauf?
Ich habe überall Summenzeichen stehen ...
Wir waren doch linkerhand bei
[mm]\sum\limits_{k\ge 0}(k+2)(k+1)(-x)^k[/mm]
Und das ist [mm]=\sum\limits_{k\ge 0}[1+(k+1)](k+1)(-x)^k[/mm]
[mm]=\sum\limits_{k\ge 0}(k+1)^2(-x)^k \ \ + \ \ \sum\limits_{k\ge 0}(k+1)(-x)^k[/mm]
Nun haben wir schonmal den Term, auf den wir hinaus wollen.
Forme die Restsumme noch etwas um, schreibe sie ohne Summenzeichen ...
Wenn du meine Rechnung in der ersten Antwort genau durchliest, siehst du, wie du [mm]\sum\limits_{k\ge 0}(k+1)(-x)^k[/mm] schreiben kannst.
Dann mit der rechten Seite verarbeiten, sprich: nach [mm]\sum\limits_{k\ge 0}(k+1)^2(-x)^k[/mm] auflösen ....
>
> aber dieser Ausdruck stimmt nicht mit der Aufgabenstellung
> überein ??
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Mo 25.11.2013 | | Autor: | heingummi |
Also hab es jetzt verstanden , vielen Dank ;)
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