Konvergenz (mal wieder) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Rahul_N |
Hallo.
Ich habe die Folge
[mm] \wurzel[n]{n!}
[/mm]
gegeben und versuche sie auf Konvergenz zu untersuchen.
Es ist klar dass diese Folge nicht konvergiert da n! schneller anwächst als wurzel(n)
Es soll irgendwie möglich sein dies Indirekt zu beweisen. könntet ihr mir weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:45 Do 04.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo [mm] Rahul_N,
[/mm]
> [mm]\wurzel[n]{n!}
[/mm]
>
> gegeben und versuche sie auf Konvergenz zu untersuchen.
> Es ist klar dass diese Folge nicht konvergiert da n!
> schneller anwächst als wurzel(n)
> Es soll irgendwie möglich sein dies Indirekt zu beweisen.
> könntet ihr mir weiterhelfen?
Du könntest zum Beispiel zeigen, dass diese Folge jede Schranke S übertrifft, dass es also für beliebig vorgegebenes S immer ein N gibt, so dass
[mm] $\wurzel[n]{n!}\ge [/mm] S$ für alle [mm] $n\ge [/mm] N$
Um dir nicht den Spaß zu nehmen, nur noch ein Tipp, wie man diese Ungleichung zeigen könnte: Potenzieren auf beiden Seiten...
Viel Spaß,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:19 Do 04.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Rahul
>
> [mm]\wurzel[n]{n!}
[/mm]
>
> gegeben und versuche sie auf Konvergenz zu untersuchen.
> Es ist klar dass diese Folge nicht konvergiert da n!
> schneller anwächst als wurzel(n)
Du meinst aber die n-te Wurzel aus n?
Das sehe ich so auf den ersten Blick aber nicht! (aber wohl nur, weil ich etwas beschränkt bin)
Wenn du die Folge dann noch etwas genauer untersuchen willst, als du das durch die Antwort von Marc machen kannst, dann kannst du auch zeigen, dass
[mm] $\lim_{n \to \infty}{\wurzel[n]{n!}} [/mm] = [mm] \bruch{n}{e}$
[/mm]
Um dies zu zeigen (wenn du das willst), hilft dir hier im Matheraum sicher auch jemand!
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hallo!
Zu der Aufgabe hätte ich folgende Idee:
[mm] \wurzel[n]{n!} [/mm] kann man doch auch so schreiben:
[mm] \wurzel[n]{(n)*(n-1)*(n-2)* ... *1}
[/mm]
da kann ich doch dann das n ausklammern und erhalte folgendes:
[mm] \wurzel[n]{n*(n*(1-1/n) *(n(1-2/n)* ....*1}
[/mm]
Wenn ich jetzt den Grenzübergang mache, dann gehen doch alle 1/2, 2/n, .... gegen Null und ich habe niúr noch dastehen:
[mm] \wurzel[n]{n*(n-0)*(n-0)* ... * 1}
[/mm]
Das wiederum ist doch nix anderes als
[mm] \wurzel[n]{n^n^-^1} [/mm] mit dem Grenzwert n für n geht gegen Unendlich.
Wenn n aber gegen Unendlich strebt, strebt die Folge auch gegen Unendlich und somit gibt es keinen echten Grenzwert und die Folge divergiert.
Könnte das so stimmen?! War nur mal so ein Einfall...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Do 04.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Literat
> Hallo!
>
> Zu der Aufgabe hätte ich folgende Idee:
>
> [mm]\wurzel[n]{n!}[/mm] kann man doch auch so schreiben:
>> [mm]\wurzel[n]{(n)*(n-1)*(n-2)* ... *1}
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> da kann ich doch dann das n ausklammern und erhalte
> folgendes:
>
> [mm]\wurzel[n]{n*(n*(1-1/n) *(n(1-2/n)* ....*1}
[/mm]
>
> Wenn ich jetzt den Grenzübergang mache, dann gehen doch
> alle 1/2, 2/n, .... gegen Null und ich habe niúr noch
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist nicht richtig. Wie weit läuft denn jeweils der Zähler?
Ich denke, von $1_$ bis $n-1_$, also deine drei Punkte etwas genauer hingeschrieben:
$1/n_$, $2/n_$, $3/n_$, ... [mm] ,$\bruch{n-3}{n}$, $\bruch{n-2}{n}$, $\bruch{n-1}{n}$
[/mm]
Die hintersten Ausdrücke sind also:
[mm] $1-\bruch{3}{n}$, $1-\bruch{2}{n}$, $1-\bruch{1}{n}$
[/mm]
... und die streben ersichtlich gegen $1_$
Aber so schlecht ist die Idee gar nicht, nur würde ich es eher so machen:
Der gegebene Ausdruck, wie du in hingeschrieben hast, ist ersichtlich das Geometrische Mittel der ersten n Zahlen. Und das ist kleiner als das Arithmetische Mittel der ersten n Zahlen.
Na ja, das bringt dich vielleicht auch nicht wirklich weiter, das bringt lediglich:
[mm] $\wurzel[n]{n!} \le \bruch{n+1}{2}$
[/mm]
Paul
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