Konvergenz komplexer Zahlen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass eine Folge [mm] (z_n)_{n \in \IN} [/mm] komplexer Zahlen [mm] z_n [/mm] = [mm] x_n [/mm] + [mm] iy_n [/mm] mit [mm] x_n, y_n \in \IR [/mm] genau dann gegen z [mm] \in \IC [/mm] konvergiert, wenn die Folgen [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] und [mm] (y_n)_{n \in \IN} [/mm] in [mm] \IR [/mm] gegen die Grenzwerte [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = Re(z) bzw. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} y_n [/mm] = Im(z) konvergieren |
Hallo,
ich finde die Aufgabe etwas schwer und bin mir nicht sicher, wie ich anfangen soll.
Ich habe mir einen Ansatz ausgedacht, aber ob der richtig ist, weiß ich nicht: Man könnte zuerst die Folge [mm] z_n [/mm] in Realteil und Imaginärteil aufteilen und dann beweisen, dass der Realteil und auch der Imaginärteil konvergiert. Also beweisen, dass : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = Re(z) bzw. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} y_n [/mm] = Im(z)
Wie beweise ich, dass die beiden Teile jeweils konvergieren? Könnte die Epsilon Definition anwenden, aber ich weiß nicht, was ich in die Definition einsetzen soll.
Ich bitte um Hilfe.
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
> Zeigen Sie, dass eine Folge [mm](z_n)_{n \in \IN}[/mm] komplexer
> Zahlen [mm]z_n[/mm] = [mm]x_n[/mm] + [mm]iy_n[/mm] mit [mm]x_n, y_n \in \IR[/mm] genau dann
> gegen z [mm]\in \IC[/mm] konvergiert, wenn die Folgen [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm]
> und [mm](y_n)_{n \in \IN}[/mm] in [mm]\IR[/mm] gegen die Grenzwerte
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = Re(z) bzw.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_n[/mm] = Im(z) konvergieren
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> Hallo,
> ich finde die Aufgabe etwas schwer und bin mir nicht
> sicher, wie ich anfangen soll.
> Ich habe mir einen Ansatz ausgedacht, aber ob der richtig
> ist, weiß ich nicht: Man könnte zuerst die Folge [mm]z_n[/mm] in
> Realteil und Imaginärteil aufteilen und dann beweisen,
> dass der Realteil und auch der Imaginärteil konvergiert.
> Also beweisen, dass : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] =
> Re(z) bzw. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_n[/mm] = Im(z)
Die Idee ist gut!
>
> Wie beweise ich, dass die beiden Teile jeweils
> konvergieren? Könnte die Epsilon Definition anwenden, aber
> ich weiß nicht, was ich in die Definition einsetzen soll.
Naja, du hast ja nichts "Konkretes" einzusetzen, schreibe lediglich hin, was Konvergenz bedeutet.
Zeige nacheinander beide Richtungen ...
[mm]\Rightarrow[/mm]: Sei [mm](z_n)[/mm] konvergent mit [mm]z_n=x_n+iy_n\longrightarrow z=x+iy[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
Zeige, dass [mm]x_n\to x, y_n\to y[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
Schaue dir dazu [mm]|z_n-z|<\varepsilon[/mm] an.
Warum folgt daraus, dass auch [mm]|Re(z_n)-Re(z)|<\varepsilon[/mm] und [mm]|Im(z_n)-Im(z)|<\varepsilon[/mm] sind?
Für die andere Richtung folgere aus der Konvergenz von Real- und Imaginärteil, dass [mm]|z_n-z|<2\varepsilon[/mm] ist ...
Kannst du damit starten?
>
> Ich bitte um Hilfe.
>
> Vielen Dank im Voraus.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Di 17.11.2015 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
1. für w=u+iv mit u,v [mm] \in \IR [/mm] haben wir:
$|u|,|v| [mm] \le [/mm] |w| [mm] \le [/mm] |u|+|v|.$
2. Einschnürungssatz (dann spart man sich das [mm] \varepsilon [/mm] - Gesprattel)
FRED
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Hallo, danke für die Antworten.
Sorry für die späte Antwort. Ich habe jetzt versucht, ausgehend von meinem Ansatz ( danke für die Ergänzungen und weitere Hilfen ), die Aufgabe zu lösen.
Und zwar habe ich mir folgendes gedacht:
| [mm] z_n [/mm] - z | < [mm] \varepsilon [/mm] => | Re [mm] z_n [/mm] - Re z | < [mm] \varepsilon
[/mm]
also folgt aus der Konvergenz der komplexen Folge die der Realteile. Dasselbe gilt für die Imaginärteile(habe ich mir jetzt gespart die Rechnung). Umgekehrt folgt aus [mm] |x_n [/mm] - x| < [mm] \varepsilon [/mm] , [mm] |y_n [/mm] -y | < [mm] \varepsilon [/mm] sofort [mm] |z-z_n| <2\varepsilon
[/mm]
Geht das so ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:12 Mi 18.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, danke für die Antworten.
> Sorry für die späte Antwort. Ich habe jetzt versucht,
> ausgehend von meinem Ansatz ( danke für die Ergänzungen
> und weitere Hilfen ), die Aufgabe zu lösen.
> Und zwar habe ich mir folgendes gedacht:
>
> | [mm]z_n[/mm] - z | < [mm]\varepsilon[/mm] => | Re [mm]z_n[/mm] - Re z | <
> [mm]\varepsilon[/mm]
> also folgt aus der Konvergenz der komplexen Folge die der
> Realteile. Dasselbe gilt für die Imaginärteile(habe ich
> mir jetzt gespart die Rechnung). Umgekehrt folgt aus [mm]|x_n[/mm] -
> x| < [mm]\varepsilon[/mm] , [mm]|y_n[/mm] -y | < [mm]\varepsilon[/mm] sofort [mm]|z-z_n| <2\varepsilon[/mm]
>
> Geht das so ?
Gute Ansätze. Schreibs mal suber auf, dann werden wir sehen, ob "das so geht".
FRED
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