Konvergenz komplexer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Di 16.04.2013 | | Autor: | marmik |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe und überprüfen Sie das Konvergenzverhalten am Rand des Konvergenzkreises.
[mm] \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^{2n+3}}{n^2+2n}*z^{n+1} [/mm] , z [mm] \in \mathbb [/mm] C |
Ich habe diese Reihe erstmal umgeschrieben: [mm] \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^{2n+3}}{n^2+2n}*z^{n+1}=\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{2^{2n+1}}{n^2-1}*z^n [/mm] und dann habe ich den Konvergenzradius bestimmt:
[mm] r=\lim_{n \to \infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\lim_{n \to \infty} \frac{|2^{2n+1}*((n+1)^2-1|}{|2^{2n+3}*(n^2-1)|}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4}*\frac{2^{2n}*(n^2+2n+1-1)}{2^{2n}*(n^2-1)}=\frac{1}{4}\lim_{n \to \infty}\frac{n^2+2n}{n^2-1}=\frac{1}{4}
[/mm]
Jetzt weiß ich leider nicht, wie ich den Rand untersuchen soll im Komplexen.
Mir sagt das bis jetzt, dass die Reihe für alle z mit [mm] |z|<\frac{1}{4} [/mm] konvergiert. Danke im Vorraus für die Hilfe!
MfG
marmik
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Hallo marmik,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden
> Potenzreihe und überprüfen Sie das Konvergenzverhalten am
> Rand des Konvergenzkreises.
> [mm]\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^{2n+3}}{n^2+2n}*z^{n+1}[/mm] ,
> z [mm]\in \mathbb[/mm] C
> Ich habe diese Reihe erstmal umgeschrieben:
> [mm]\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^{2n+3}}{n^2+2n}*z^{n+1}=\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{2^{2n+1}}{n^2-1}*z^n[/mm]
> und dann habe ich den Konvergenzradius bestimmt:
> [mm]r=\lim_{n \to \infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\lim_{n \to \infty} \frac{|2^{2n+1}*((n+1)^2-1|}{|2^{2n+3}*(n^2-1)|}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4}*\frac{2^{2n}*(n^2+2n+1-1)}{2^{2n}*(n^2-1)}=\frac{1}{4}\lim_{n \to \infty}\frac{n^2+2n}{n^2-1}=\frac{1}{4}[/mm]
>
> Jetzt weiß ich leider nicht, wie ich den Rand untersuchen
> soll im Komplexen.
> Mir sagt das bis jetzt, dass die Reihe für alle z mit
> [mm]|z|<\frac{1}{4}[/mm] konvergiert. Danke im Vorraus für die
> Hilfe!
Untersuche die Reihe am Rand auf absolute Konvergenz,
denn jede absolute konvergente Reihe ist konvergent.
> MfG
> marmik
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Di 16.04.2013 | | Autor: | marmik |
Also muss ich dann die Reihe [mm] \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{|(4z)^n|}{|n^2-1|} [/mm] untersuchen? Mit
Wenn ja weiß ich leider nicht, wie ich da vorgehen soll
MfG
marmik
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Hallo marmik,
> Also muss ich dann die Reihe [mm]\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{|(4z)^n|}{|n^2-1|}[/mm]
> untersuchen? Mit
> Wenn ja weiß ich leider nicht, wie ich da vorgehen soll
> MfG
> marmik
>
Es ist doch die Reihe
[mm]\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^{2n+3}}{n^2+2n}\cdot{\left( \ \bruch{1}{4} \ \right)^{n+1} [/mm]
auf Konvergenz zu untersuchen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Di 16.04.2013 | | Autor: | marmik |
Hallo Mathepower,
Ich habe mich mal dran versucht und wuerde mich freuen wenn du mich korrigieren kannst.
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^{2n+3}}{n^{2}+2n}\bruch{1}{4^{n+1}}=\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{2^{2n+1}}{(n-1)^{2}+2(n-1)}\bruch{1}{4^{n}}=2\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}-1}[/mm]
Betrachtet man nun die bekanntlich konvergente Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}}=\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{(n-1)^{2}}[/mm] stellt man fest das dies eine Majorante ist, da:
[mm] a_{n}:=\bruch{1}{(n-1)^{2}} [/mm] und [mm] b_{n}:=\bruch{1}{n^{2}-1} [/mm]
Zu zeigen ist dann, dass [mm] a_n [/mm] > [mm] b_n [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] 2 , was ziemlich einfach ist...
Das einzige Problem was ich habe ist, dass das von mir gewählte [mm] b_n [/mm] evtl mit 2 multipliziert werden müsste, da ich ja noch eine 2 vor der summe hatte...?
Wenn dies der Fall wäre, dann ist [mm] a_n [/mm] < [mm] b_n [/mm] und die ganze Rechnerei hätte mir nichts gebracht.
Danke im Vorraus für jede Hilfe!
MfG
Marmik
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Hallo marmik,
> Hallo Mathepower,
> Ich habe mich mal dran versucht und wuerde mich freuen
> wenn du mich korrigieren kannst.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^{2n+3}}{n^{2}+2n}\bruch{1}{4^{n+1}}=\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{2^{2n+1}}{(n-1)^{2}+2(n-1)}\bruch{1}{4^{n}}=2\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}-1}[/mm]
>
> Betrachtet man nun die bekanntlich konvergente Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}}=\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{(n-1)^{2}}[/mm]
> stellt man fest das dies eine Majorante ist, da:
> [mm]a_{n}:=\bruch{1}{(n-1)^{2}}[/mm] und [mm]b_{n}:=\bruch{1}{n^{2}-1}[/mm]
>
> Zu zeigen ist dann, dass [mm]a_n[/mm] > [mm]b_n[/mm] für alle [mm]n\ge[/mm] 2 , was
> ziemlich einfach ist...
>
> Das einzige Problem was ich habe ist, dass das von mir
> gewählte [mm]b_n[/mm] evtl mit 2 multipliziert werden müsste, da
> ich ja noch eine 2 vor der summe hatte...?
Das ist kein Problem, da
[mm]2\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}-1} < 2\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{\left(n-1\right)^{2}}}[/mm]
> Wenn dies der Fall wäre, dann ist [mm]a_n[/mm] < [mm]b_n[/mm] und die ganze
> Rechnerei hätte mir nichts gebracht.
>
> Danke im Vorraus für jede Hilfe!
> MfG
> Marmik
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Di 16.04.2013 | | Autor: | marmik |
Hallo Mathepower,
Danke für deine Hilfe!
Gruß
Marmik
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