Konvergenz in Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Sa 09.07.2005 | | Autor: | qwert_z |
Hallo allerseits.
Für [mm] n\in\IN [/mm] seien [mm] X_{n} [/mm] und [mm] Y_{n} [/mm] Zufallsvariable auf einem diskreten W-Raum [mm] (\Omega_{n},2^{\Omega_{n}},P_{n}) [/mm] und [mm] X_{0} [/mm] sei eine weitere Zufallsvariable auf einem diskreten W-Raum [mm] (\Omega_{0},2^{\Omega_{0}},P_{0}). [/mm]
Es gelten [mm] X_{n} \to X_{0} [/mm] (Konvergenz in Verteilung) und [mm] Y_{n} \to0 [/mm] (p-stochastische Konvergenz).
Zeigen Sie, dass dann auch [mm] X_{n}+Y_{n} \to X_{0} [/mm] (Konvergenz in Verteilung) gilt.
Diese Aufgabe muss ich lösen. Ich habe keine Ahnung, wie ich das beweisen soll und hoffe, dass mir jemand helfen kann, auch wenn ich keinen Lösungsansatz posten kann :-()
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Hi,
ich nehme an, der Index n bei Deinen W-Räumen muss ein anderer sein, als der an Deinen Zufallsvariablen?
Sonst machen Konvergenzaussagen ja keinen Sinn, wenn jede der Funktionen auf einem anderen Raum definiert ist.
Viele Grüße,
Jazzy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Mo 11.07.2005 | | Autor: | qwert_z |
Da hast du bestimmt Recht...
In der Aufgabe steht einfach nicht weiteres zu dem n als das, was ich schon geschrieben habe... Weißt du vielleicht, wie man die Aufgabe lösen kann? Kann mir darunter nicht viel vorstellen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Di 12.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Gehe wie folgt vor: Es sei [mm] $F^{(n)}$ [/mm] die zu [mm] $P_n$ [/mm] gehörige Verteilungsfunktion. Dann ist für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] zu zeigen
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} F^{(n)}_{X_n+Y_n}(x) [/mm] = [mm] F^{(0)}_{X_0}(x)$.
[/mm]
Nun gilt aber für beliebiges [mm] $\varepsilon>0$:
[/mm]
[mm] $F^{(n)}_{X_n+Y_n}(x) \le F^{(n)}_{X_n}(x+ \varepsilon) +P_n(|Y_n| \ge \varepsilon)$.
[/mm]
Nach Voraussetzung gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \left[F^{(n)}_{X_n}(x+ \varepsilon) +P_n(|Y_n| \ge \varepsilon) \right] [/mm] = [mm] F^{(0)}_{X_0}(x [/mm] + [mm] \varepsilon)$.
[/mm]
Da [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig gewählt war, folgt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} F^{(n)}_{X_n+Y_n}(x) \le F^{(0)}_{X_0}(x)$.
[/mm]
Zeige die andere Ungleichung nun ähnlich... 
Viele Grüße
Julius
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