Konvergenz in Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] (Z_{n})_{n\in\IN} [/mm] sei eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen mit [mm] $\sqrt{n}*(Z_{n}-\mu) \overset{D}{\to}N(0,1)$. [/mm] Außerdem sei g eine zweimal stetig differenzierbare Funktion mit [mm] $g'(\mu)\not= [/mm] 0$ und beschränkter zweiter Ableitung. Man zeige, dass [mm] $\sqrt{n}*(g(Z_{n})-g(\mu))$ [/mm] ebenfalls in Verteilung gegen eine Normalverteilung konvergiert. |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe komme ich an einer Stelle nicht weiter.
Ich habe zunächst die Taylor-Entwicklung von g um [mm] \mu [/mm] bestimmt:
$g(x) = [mm] g(\mu) [/mm] + [mm] g'(\mu)*(x-\mu) [/mm] + [mm] \frac{1}{2}*g''(\xi)*(x-\mu)^{2}$
[/mm]
mit [mm] $\xi\in(\mu,x)\subset\IR$.
[/mm]
Nun kann ich das Einsetzen:
[mm] $\sqrt{n}*(g(Z_{n})-g(\mu))$
[/mm]
$= [mm] \sqrt{n}*\Big[g'(\mu)*(Z_{n}-\mu) +\frac{1}{2}*g''(\xi)*(Z_{n}-\mu)^{2} \Big]$
[/mm]
[mm] $=g'(\mu)*\sqrt{n}*(Z_{n}-\mu) [/mm] + [mm] \frac{1}{2*\sqrt{n}}*g''(\xi)*\Big[\sqrt{n}*(Z_{n}-\mu)\Big]^{2}$
[/mm]
Ich habe mir nun zunächst überlegt, dass der erste Summand in Verteilung gegen eine Normalverteilung konvergiert, weil [mm] g'(\mu) [/mm] ja einfach eine Konstante ist, und nach dem Satz von Slutsky dann gilt:
[mm] $g'(\mu)*\sqrt{n}*(Z_{n}-\mu) \overset{D}{\to}g'(\mu)*N(0,1) \sim N(0,g'(\mu)^{2})$.
[/mm]
Stimmt das?
Nun muss ich noch überlegen, was mit dem zweiten Summanden
[mm] $\frac{1}{2*\sqrt{n}}*g''(\xi)*\Big[\sqrt{n}*(Z_{n}-\mu)\Big]^{2}$
[/mm]
passiert. Es sieht ja so aus, als würde er gegen 0 gehen. Ich weiß: [mm] $\Big[\sqrt{n}*(Z_{n}-\mu)\Big]^{2} \overset{D}{\to} [N(0,1)]^{2}$, [/mm] also gegen eine Chi-Quadrat-Verteilung. Die ist doch beschränkt. Und der Teil [mm] \frac{1}{2*\sqrt{n}}*g''(\xi) [/mm] geht wegen der Beschränktheit der zweiten Ableitung ja gegen Null. Folgt daraus, dass auch das Produkt gegen 0 geht, also der gesamte zweite Summand gegen 0 geht? Warum denn genau?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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hi
wenn der erste faktor konstant ist und der 2. gegen null geht, dann geht das produkt auch gegen null. http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge) unter rechenregeln.
ich frag mich jedoch, wieso du zum einen die taylorentwicklung nur bis zum 2. grad machst und dann einfach abbrichst ohne ein restglied zu betrachten oder ähnliches....
und wieso setzt du [mm] $\xi$ [/mm] im 2. term statt [mm] $\mu$ [/mm] ein?
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Hallo horst,
es handelt sich um die Lagrange'sche Form des Restglieds einer Taylor-Entwicklung.
Grüße,
Stefan
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