Konvergenz in R und C < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Mi 25.11.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Hallo.
ich soll die Konvergenz der Folge [mm] a_n=(\wurzel[n]{n!})_{n \in \IN \backslash \{ 0 \}} [/mm] in [mm] \IR [/mm] und [mm] \IC [/mm] prüfen.
Leider weiß ich nicht wirklich wie ich hier beginnen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Mi 25.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
> ich soll die Konvergenz der Folge [mm]a_n=(\wurzel[n]{n!})_{n \in \IN \backslash \{ 0 \}}[/mm]
> in [mm]\IR[/mm] und [mm]\IC[/mm] prüfen.
> Leider weiß cih nicht wirklich wie ich hier begeinnen
> soll.
Zunächst einmal ist es völlig egal, ob Du die Folge in [mm] \IR [/mm] oder in [mm] \IC [/mm] untersuchst.
Mach folgendes : zeige, dass [mm] \bruch{1}{a_n} \to [/mm] 0.
Dafür sehe ich momentan 2 Möglichkeiten:
1. Wenn Ihr schon Potenzreihen und den Konvergenzradius von Potenzreihen hattet, so schau Dir mal die Exponentialfunktion
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}
[/mm]
an. Diese Reihe hat den Konvergenzradius [mm] \infty. [/mm] Kommst Du damit weiter ?
Wenn das nicht funktioniert:
2. Setze [mm] b_n [/mm] = $ [mm] \bruch{1}{a_n} [/mm] $ . [mm] (b_n) [/mm] ist beschränkt: 0 [mm] \le b_n \le [/mm] 1.
Sei a:= lim sup [mm] b_n.
[/mm]
Wenn Du zeigen kannst, dass a= 0 ist , bist Du fertig (ist Dir klar warum ?)
Dazu nimm an, es sei a>0. setze x:= [mm] \bruch{2}{a}. [/mm] Dann ist
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}
[/mm]
konvergent. Mit dem Wurzelkriterium sieht man aber auch, dass diese Reihe divergiert ( zeige das mal), Widerspruch
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mi 25.11.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Danke für die Antwort.
Aber ich muss gestehn, ich kann mit keiner der Varianten wirklich was anfangen.
Mir ist klar dass, wenn ich zeige, dass [mm] 1/a_n [/mm] -> 0 dnn heißt das, das [mm] a_n [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] geht. Aber ich sehe nicht, dass das Problem dadruch leichter wird.
Konvergenzradien haben wir so viel ich weiß noch nicht gemacht. Und auch Reihen sollen hier noch nicht benutzt werden.
Und das was du bei Möglichkeit 2 beschreibst versteh ich leider nicht wirklich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:32 Do 26.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort.
> Aber ich muss gestehn, ich kann mit keiner der Varianten
> wirklich was anfangen.
> Mir ist klar dass, wenn ich zeige, dass [mm]1/a_n[/mm] -> 0 dnn
> heißt das, das [mm]a_n[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] geht. Aber ich sehe nicht,
> dass das Problem dadruch leichter wird.
> Konvergenzradien haben wir so viel ich weiß noch nicht
> gemacht. Und auch Reihen sollen hier noch nicht benutzt
> werden.
> Und das was du bei Möglichkeit 2 beschreibst versteh ich
> leider nicht wirklich.
Dann sag mal, was genau Du nicht verstehst
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:39 Do 26.11.2009 | | Autor: | xtraxtra |
warum ich [mm] b_n=1/a_n [/mm] * [mm] b_n [/mm] verwenden kann um die Konvergenz zu zeigen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Do 26.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> warum ich [mm]b_n=1/a_n[/mm] * [mm]b_n[/mm] verwenden kann um die Konvergenz
> zu zeigen.
Da hast Du etwas falsch verstanden ! Oben habe ich geschrieben:
"Setze $ [mm] b_n [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{a_n} [/mm] $ . $ [mm] (b_n) [/mm] $ ist beschränkt: 0 $ [mm] \le b_n \le [/mm] $ 1. "
Gemeint ist: Setze $ [mm] b_n [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{a_n} [/mm] $. Dann ist [mm] (b_n) [/mm] beschränkt ...
FRED
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