Konvergenz in Lp < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Guten Tag
Konvergenz in $\ [mm] L^p$ [/mm] bedeutet ja folgendes:
[mm] (\integral{|f_n -f|^p dx})^\bruch{1}{p}\to 0 [/mm]
Kann man daraus schliessen, dass:
[mm]\integral{|f(x)|^p dx} - \integral{|f_n|^p dx} \to 0 [/mm]
ich habe da eine Argumentation, weiss allerdings nicht ob sie richtig ist:
[mm] \integral{|f_n -f|^p dx} \ge \integral{(| |f_n| -|f||)^p dx} = \integral{| |f_n| -|f||^p dx} \ge \integral{|f_n|^p -|f|^p dx} [/mm]
Wobei bei der ersten Ungleichung die verkehrte Dreiecksungleichung benutzt wurde. Bei der letzten Ungleichung bin ich mir leider nicht sicher.
Ich bin dankbar für jede Antwort.
Liebe Grüsse
marianne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 So 14.08.2011 | | Autor: | max3000 |
Die Aussage die du meinst nennt sich "Satz von Radon-Riesz" und der besagt, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
a) Starke [mm] $L_2$-Konvergenz, [/mm] d.h. [mm] \|f_n-f\|
[/mm]
b) schwache [mm] $L_2$-Konvergenz, [/mm] d.h. [mm] (f_n-f,v)\to0 $\forall v\in L_2$ [/mm] und Konvergenz der Normen, d.h. [mm] \|f_n\|\to\|f\|
[/mm]
Dabei ist [mm] \|\cdot\| [/mm] die [mm] $L_2$-Norm.
[/mm]
Zu deiner Argumentation kann ich nur sagen, dass das eigentlich richtig aussieht aber da würde ich dich auf das Buch "Maß- und Integrationstheorie" von Jürgen Elstrodt verweisen. Ich bin mir ziemlich sicher, dass dort der Beweis drin steht.
Die letzte Ungleichung ergibt sich für p=2 gerade aus der Binomischen Formel und der Tatsache, dass |f| und [mm] |f_n| [/mm] nichtnegativ sind. Du solltest das für allgemeine [mm] p\in\IN [/mm] eigentlich auch im Tafelwerk finden.
Ich hoffe ich konnte dir damit ein bisschen helfen.
Grüße
Max
|
|
|
| |
|
Guten Abend Max
Ich danke dir für deine schnelle Antwort. Mir geht es um folgendes Problem:
Wenn man sich in Sobolevräumen aufhält, argumentiert man doch oftmals über Dichtheit von $\ [mm] C^\infty_0 [/mm] $ Funktionen in $\ [mm] W^{1,p}_0 [/mm] $ Wenn ich z.B. eine Soboleveinbettung für solch glatte Funktionen mit kompaktem Träger zeigen konnte, steht in den Büchern für ein allgemeine Funktion aus $\ [mm] W^{1,p}_0$ [/mm] verwende Dichtheit. Aber wie soll das gehen? Konkret, es gilt folgende Ungleichung:
[mm] \parallel u \parallel_{L^p^\*} \le \parallel \nabla u \parallel_{L^p}[/mm] wobei das $\ [mm] p^\* [/mm] $ der übliche Sobolevexponent ist. Diese Ungleichung sei für die glatten Funktionen mit kompaktem Träger gezeigt.
Nun möchte man dies für ein allgemeines $\ f [mm] \in W^{1,p}_0 [/mm] $ zeigen. Nach Definition gibt es eine Folge $\ [mm] (f_n) \in C^\infty_0 [/mm] $ die gegen $\ f $ in $\ [mm] W^{1,p}$ [/mm] Norm konvergiert. Man kann zeigen, dass $\ [mm] (f_n) \to [/mm] f $ in $\ [mm] L^{p^\*} [/mm] $ konvergiert. Aber wie komme ich auf die Ungleichung? Ich müsste ja schreiben können:
[mm] \parallel f \parallel_{L^p^\*} =\limes_{n\rightarrow\infty} \parallel f_n \parallel_{L^p^\*} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel \nabla f_n \parallel_{L^p} = \parallel \nabla f \parallel_{L^p} [/mm]
D.h. zurück zu meiner ursprünglichen Frage. Wenn aus der Konvergenz in $\ [mm] L^p [/mm] $ folgendes folgt:
[mm] \parallel f \parallel_{L^p} = \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel f_n \parallel [/mm]
für alle $\ p $ und ohne Einschränkungen an die Räume, ist obiges gezeigt. Daher meine Frage im ersten Threat.
Es wäre schön, wenn daher jemand meinen "Beweis" aus dem ersten Threat bestätigen könnte, oder sagen wieso dies nicht gilt und dann gegebenenfalls wie man in solchen Situationen über Dichtheit argumentieren kann. Herzlichen Dank für die Hilfe
Liebe Grüsse
marianne
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 So 14.08.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] \integral{|f_n -f|^p dx} \ge \integral{(| |f_n| -|f||)^p dx} [/mm] = [mm] \integral{| |f_n| -|f||^p dx} \ge \integral{|f_n|^p -|f|^p dx} [/mm] $
[mm] $f_n:=11$, [/mm] $f:=10$, $p=2$. Integriert über z.B. [0,1], dann stimmt es nicht.
Es gilt aber:
[mm] $p\geq [/mm] 1$:
> D.h. zurück zu meiner ursprünglichen Frage. Wenn aus der Konvergenz in $ \ [mm] L^p [/mm] $ folgendes folgt:
> $ [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{L^p} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel f_n \parallel [/mm] $
Das folgt direkt aus der Dreiecksungleichung:
[mm] $\| f_n\| [/mm] = [mm] \| (f_n-f) [/mm] + [mm] f\| \leq \| f_n [/mm] - [mm] f\| [/mm] + [mm] \| f\|$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\quad \| f_n\| [/mm] - [mm] \| f\| \leq \| f_n -f\|$
[/mm]
p<1:
Da sollte Deine Aussage stimmen, auch wenn ich grad zu von der Rolle für einen Beweis bin.
Aber für p<1 ist [mm] $\|\cdot \|_{L^p}$ [/mm] eine ![[]](/images/popup.gif) Quasi-Norm, was für Deine Bedürfnisse eh ausreicht.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
Nur zur Sicherheit:
Nehmen wir an, ich habe den folgenden Raum: [mm] W^{k,p}_0 [/mm]. Ich weiss, dass darin die Funktionen $\ [mm] C^\infty_0 [/mm] $ dicht liegen.
Es folgt: [mm] \forall u \in W^{k,p}_0 \exists (\phi_k)_{k \in \IN} [/mm] so dass:
[mm] \parallel u - \phi_k \parallel_{W^{k,p}} \to 0 [/mm].
Wenn ich jetzt z.B. eine Integralungleichung zeigen möchte (z.B. Poincaré) und dies für $\ [mm] C^\infty_0 [/mm] $ getan habe. Kann ich dann wie folgt für ein allgemeines $\ u [mm] \in W^{k,p}_0 [/mm] $ sagen:
[mm] \integral{|u(x)|^p dx} =\parallel u \parallel_{L^p}^p = \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel \phi_n \parallel_{L^p}^p \le \limes_{n\rightarrow\infty} \integral{|\nabla \phi_n(x)|^p dx} = \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel \nabla \phi_n \parallel_{L^p}^p = \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel \nabla u \parallel_{L^p}^p [/mm]
Am Ende der Beweise steht immer: für eine allgemeine Funktion folgt die Aussage bezüglich Dichtheit. Ist diese Argumentation gemeint?
Liebe Grüsse
marianne
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich weiss nicht, ob ich deine Frage genau verstehe, aber ich denke, eigentlich läuft sie auf ein Analysis 1-Argument hinaus.
Nehmen wir also wieder an, du willst die Poincare-Ungleichung für [mm] $f\in H^{1,p}_0$ [/mm] zeigen, also so etwas wie [mm] $|f|_p\le C|\nabla f|_p$. [/mm] Weiterhin sei die Aussage für glatte Funktionen schon bewiesen und [mm] $f_n\in C_0^\infty$ [/mm] konvergieren gegen f in [mm] $H^{1,p}$. [/mm] Also gilt
[mm] $|f_n|_p\le C|\nabla f_n|_p$ [/mm] für alle n
Per definitionem der Konvergenz in [mm] $H^{1,p}$ [/mm] ist nun [mm] $|f_n|_p\to |f|_p$ [/mm] und [mm] $|\nabla f_n|_p\to |\nabla f|_p$. [/mm] Zu zeigen bleibt also lediglich das [mm] $\le$-Zeichen. [/mm] Dieses folgt aber wie gesagt aus Ana 1: wenn für zwei relle folgen [mm] $a_n\to [/mm] a$ und [mm] $b_n\to [/mm] b$ gilt [mm] $a_n\le b_n$ [/mm] für alle n, dann folgt sehr leicht [mm] $a\le [/mm] b$. qed.
Ich hoffe, ich konnte ein wenig weiterhelfen.
Gruss
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 Sa 20.08.2011 | | Autor: | MatthiasKr |
> Hallo,
>
> ich weiss nicht, ob ich deine Frage genau verstehe, aber
> ich denke, eigentlich läuft sie auf ein Analysis
> 1-Argument hinaus.
>
> Nehmen wir also wieder an, du willst die
> Poincare-Ungleichung für [mm]f\in H^{1,p}_0[/mm] zeigen, also so
> etwas wie [mm]|f|_p\le C|\nabla f|_p[/mm]. Weiterhin sei die Aussage
> für glatte Funktionen schon bewiesen und [mm]f_n\in C_0^\infty[/mm]
> konvergieren gegen f in [mm]H^{1,p}[/mm]. Also gilt
>
> [mm]|f_n|_p\le C|\nabla f_n|_p[/mm] für alle n
>
> Per definitionem der Konvergenz in [mm]H^{1,p}[/mm] ist nun
> [mm]|f_n|_p\to |f|_p[/mm] und [mm]|\nabla f_n|_p\to |\nabla f|_p[/mm].
Bemerkung: so ganz per definitionem ist es vielleicht nicht, aber man erhält das über ein einfaches argument: man hat doch
[mm] $|f_n|_p=|f+f_n -f|_p\le |f|_p [/mm] + [mm] |f_n-f|_p$. [/mm] Daher ist
[mm] $|f_n|_p [/mm] - [mm] |f|_p \le |f_n-f|_p$. [/mm] Durch Vertauschen von [mm] $f_n$ [/mm] und $f$ erhält man die ungleichung für den betrag
[mm] |\; |f_n|_p - |f|_p\; | \le |f_n-f|_p[/mm]
Aus Konvergenz in einem normierten Raum folgt also auch die Konvergenz der Normen.
Gruss
Matthias
Zu
> zeigen bleibt also lediglich das [mm]\le[/mm]-Zeichen. Dieses folgt
> aber wie gesagt aus Ana 1: wenn für zwei relle folgen
> [mm]a_n\to a[/mm] und [mm]b_n\to b[/mm] gilt [mm]a_n\le b_n[/mm] für alle n, dann
> folgt sehr leicht [mm]a\le b[/mm]. qed.
>
> Ich hoffe, ich konnte ein wenig weiterhelfen.
>
> Gruss
> Matthias
|
|
|
|
