Konvergenz in Abhk. von Var. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für welche $a [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] ist [mm] $\sum_{k = 1}^{\infty} b_k [/mm] = [mm] \sum_{k = 1}^{\infty} \left( 1+ \frac{a}_{k} \right)^{2k}$ [/mm] konvergent? |
Hallo zusammen,
ich bearbeite gerade ein paar alte Klausuraufgaben und bin mir nicht sicher ob meine Lösung stimmt.
Zunächst muss [mm] $b_k$ [/mm] eine Nullfolge sein. Also [mm] $\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{b_k} [/mm] = [mm] \lim\limits_{k \rightarrow \infty}{c_k} \cdot \lim\limits_{k \rightarrow \infty}{c_k} [/mm] = 0$ für [mm] $c_k [/mm] := [mm] \left( 1+ \frac{a}_{k} \right)^{k}$. [/mm] Wir erkennen, dass [mm] $\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{c_k} [/mm] = [mm] e^a$. [/mm] Wir müssen also herausfinden wann [mm] $e^a [/mm] = 0$ gilt und erkennen, dass das für kein $a$ erfüllt sein kann, da [mm] $e^x [/mm] > 0$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R}$.
[/mm]
Ist die Argumentation richtig? Oder anders gefragt, wie geht man an so eine Aufgabe heran?
Vielen Dank schonmal :)
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