Konvergenz einer Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:56 Di 20.09.2011 | | Autor: | Reen1205 |
| Aufgabe | | konvergiert für ________________! |
Ich habe diese Frage in noch keinem Forum gestellt.
Im Vorlauf der Aufgabe sollte ich das 4 Taylorpolynom einer Funktion bestimmen.
Ich habe hierfür [mm] x^2-1/3x^4 [/mm] herausbekommen. Ist auch soweit richtig. Im Nachlauf der Aufgabe wird jetzt o.g. gefragt. Schaue ich hier dann nur, was ich alles fürs x in dieses 4te Taylorpolynom einsetzen kann und habe dann damit konvergiert für [mm] x \in \IR [/mm]
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Hallo,
> konvergiert für ________________!
> Ich habe diese Frage in noch keinem Forum gestellt.
>
> Im Vorlauf der Aufgabe sollte ich das 4 Taylorpolynom einer
> Funktion bestimmen.
Welcher Funktion?
Wie wäre es, wenn du die Aufgabenstellung vollständig posten würdest?
>
> Ich habe hierfür [mm]x^2-1/3x^4[/mm] herausbekommen. Ist auch
> soweit richtig. Im Nachlauf der Aufgabe wird jetzt o.g.
> gefragt. Schaue ich hier dann nur, was ich alles fürs x in
> dieses 4te Taylorpolynom einsetzen kann und habe dann damit
> konvergiert für [mm]x \in \IR[/mm]
Bei einem Polynom endlichen Grades ist es m.E. irgendwie sinnlos nach Konvergenz zu fragen. Vielleicht ging es in der Aufgabenstellung um Taylorreihen.
[mm] P_f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.
[/mm]
Hierbei handelt es sich um eine Potenzreihe im Entwicklungspunkt a zu einer beliebig oft differenzierbaren Funktion f. Da kann man den Konvergenzradius ermitteln.
LG
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Di 20.09.2011 | | Autor: | Reen1205 |
AUfgabe lautet:
"Die zugehörige Taylorreihe konvergiert für [mm]x\in[/mm](___________________)"
Die Taylorreihe 4ten Grades lautet: [mm] x^2-1/3x^4.
[/mm]
Es handelt sich um eine Kästchenaufgabe, sprich: Ich soll nur in die Lücke einsetzen für welche x es konvergiert.
Funktion ist[mm] g(x)=sin(x)^2[/mm] [mm] x_0=0
[/mm]
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> AUfgabe lautet:
>
> "Die zugehörige Taylorreihe konvergiert für
> [mm]x\in[/mm](___________________)"
>
> Die Taylorreihe 4ten Grades lautet: [mm]x^2-1/3x^4.[/mm]
??
Es gibt höchstens das Taylorpolynom vierten Grades...
Es soll vermutlich das Konvergenzverhalten der unendlichen Reihe untersucht werden. In meiner letzten Antwort habe ich dazu eine Formel angegeben.
>
> Es handelt sich um eine Kästchenaufgabe, sprich: Ich soll
> nur in die Lücke einsetzen für welche x es konvergiert.
>
> Funktion ist[mm] g(x)=sin(x)^2[/mm] [mm]x_0=0[/mm]
Ich rechne mal ein paar Ableitungen, aus denen du dir die Taylorreihe basteln kannst.
[mm] g=\sin(x)^2
[/mm]
[mm] g^{(1)}=2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x)
[/mm]
[mm] g^{(2)}=2\cos(2x)
[/mm]
[mm] g^{(3)}=-4\sin(2x)
[/mm]
[mm] g^{(4)}=-8\cos(2x)
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] g^{(2n-1)}=(-1)^{n+1}2^{2n-2}\sin(2x)
[/mm]
[mm] g^{(2n)}=(-1)^{n+1}2^{2n-1}\cos(2x)
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Di 20.09.2011 | | Autor: | Reen1205 |
Die Taylorreihe habe ich schon. Ich muss ja nur angeben, für welche x die reihe konvergiert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Di 20.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Taylorreihe habe ich schon.
Dann schreib sie doch mal hin !!!
> Ich muss ja nur angeben,
> für welche x die reihe konvergiert.
Vielleicht kannst Du , ich , wir, andere oder auch der liebe Gott, an der von Dir hingeschriebenen Reihe den Konvergenzbereich ablesen. Also: hinschreiben.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Di 20.09.2011 | | Autor: | Reen1205 |
| Aufgabe | | Sei [mm] g(x):= (sinx)^2[/mm] . Es ist [mm] g'(0)=[/mm] ANTWORT 1,[mm] g''(0)=[/mm] ANTWORT 2. Das Taylorpolynom der Ordnung 4 für g(x) um die Entwicklungsstelle [mm] x_0 [/mm] = 0 lautet [mm] T_4(x,0) =[/mm] ANTWORT 3. Die zugehörige Taylorreihe konvergiert für [mm] x\in [/mm] ANTWORT 4. [/mm] |
ANTWORT 1: 0
ANTWORT 2: 2
ANTWORT 3: [mm]x^2- \frac{1}{3}x^4[/mm]
ANTWORT 4: ?
Ich habe jetzt oben noch einmal den exakten Wortlaut der Aufgabe hingeschrieben + meine Lösungen.
Gruß
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Hallo Reen1205,
> Sei [mm]g(x):= (sinx)^2[/mm] . Es ist [mm]g'(0)=[/mm] ANTWORT 1,[mm] g''(0)=[/mm]
> ANTWORT 2. Das Taylorpolynom der Ordnung 4 für g(x) um die
> Entwicklungsstelle [mm]x_0[/mm] = 0 lautet [mm]T_4(x,0) =[/mm] ANTWORT 3.
> Die zugehörige Taylorreihe konvergiert für [mm]x\in[/mm] ANTWORT
> 4.[/mm]
> ANTWORT 1: 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ANTWORT 2: 2
> ANTWORT 3: [mm]x^2- \frac{1}{3}x^4[/mm]
> ANTWORT 4: ?
>
> Ich habe jetzt oben noch einmal den exakten Wortlaut der
> Aufgabe hingeschrieben + meine Lösungen.
Du behauptest doch hartnäckig, dass du die Taylorreihe schon berechnet hast, gepostet hast du lediglich das Taylorpolynom der Ordnung 4
Du musst also noch die Taylorreihe bestimmen, um Frage 4 beantworten zu können.
Dazu kann es hilfreich sein, zu schreiben [mm]\sin^2(x)=\sin(x)\cdot{}\sin(x)[/mm], dann die bekannte Taylorreihe für den Sinus einzusetzen und das Cauchyprodukt der beiden Reihen zu berechnen.
Wenn das steht, kannst du auch den Konvergenzradius bzw. diejenigen [mm]x[/mm] bestimmen, für die die Reihe dann konvergiert ...
>
> Gruß
>
LG
schachuzipus
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