Konvergenz einer Reihe beweise < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ich habe die Folge [mm] (a_{k})_{k \ge 0} [/mm] gegeben durch [mm] a_{k}=\left\{\begin{matrix}
1 & \mbox{für}&k=3n \\
2, & \mbox{für}&k=3n+1 \\
3, & \mbox{für}&k=3n+2
\end{matrix}\right.
[/mm]
nun soll ich
1. zeigen, dass die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{2^{k}*5^{k}} [/mm] konvergiert
und2. zeigen, dass ihr Wert durch die rationale Zahl : [mm] \frac{2*5*41}{3^2 * 37} [/mm] gegeben ist
mein Ansatz:
zu 1:
mit Hilfe des Majorantenkriteriums habe ich umgeformt zu:
[mm] \frac{a_{k}}{2^{k}*5^{k}} \le \frac{a_{k}}{2^{k}} [/mm] = [mm] (a_{k} [/mm] * [mm] (0,5)^{k}) [/mm]
mit Hilfe der geometrischen Reihe erhalte ich:
[mm] \frac{a_{k}}{0,5}= [/mm] 2* [mm] a_{k} [/mm] da die Majorante also die geometrische Reihe ist, konvergiert diese für |q| < 1
stimmt das? aber was ist in meinem Falle q? und wie kann ich die Definition der Folge [mm] a_{k} [/mm] einbringen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Fr 13.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> ich habe die Folge [mm](a_{k})_{k \ge 0}[/mm] gegeben durch
> [mm]a_{k}=\left\{\begin{matrix}
1 & \mbox{für}\mbox{k=3n} \\
2, & \mbox{für}\mbox{k=3n+1} \\
3, & \mbox{für}\mbox{k=3n+2}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> nun soll ich
> 1. zeigen, dass die Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{2^{k}*5^{k}}[/mm] konvergiert
>
> und2. zeigen, dass ihr Wert durch die rationale Zahl :
> [mm]\frac{2*5*41}{3^3 * 37}[/mm] gegeben ist
>
>
> mein Ansatz:
> zu 1:
> mit Hilfe des Majorantenkriteriums habe ich umgeformt zu:
> [mm]\frac{a_{k}}{2^{k}*5^{k}} \le \frac{a_{k}}{2^{k}}[/mm] = [mm](a_{k}[/mm]
> * [mm](0,5)^{k})[/mm]
Es ist 0 [mm] \le a_k \le [/mm] 3 für alle k.
Damit ist
0 [mm] \le \frac{a_{k}}{2^{k}*5^{k}} \le [/mm] 3*( [mm] \bruch{1}{2})^k
[/mm]
FRED
> mit Hilfe der geometrischen Reihe erhalte ich:
> [mm]\frac{a_{k}}{0,5}=[/mm] 2* [mm]a_{k}[/mm] da die Majorante also die
> geometrische Reihe ist, konvergiert diese für |q| < 1
>
> stimmt das? aber was ist in meinem Falle q? und wie kann
> ich die Definition der Folge [mm]a_{k}[/mm] einbringen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay danke. reicht es dann zusagen , dass die Reihe wegen |q| = 0,5 < 1 konvergiert?
und was ist bei 2. gefordert. Welcher Wert ist gemeint? Der Grenzwert?
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Hallo Alex!
> okay danke. reicht es dann zusagen , dass die Reihe wegen
> |q| = 0,5 < 1 konvergiert?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und was ist bei 2. gefordert. Welcher Wert ist gemeint? Der
> Grenzwert?
Genau.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay danke.
aber wie erhält man die angegeben rationale Zahl?
ich kann ja mit Hilfe der geometrischen Rehe umschreiben:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{2^{k}*5^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\wurzel{a_{k}}/2^{k} [/mm] * [mm] \wurzel{a_{k}}/5^{k} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\wurzel{a_{k}} [/mm] * [mm] 0,5^{k} [/mm] * [mm] \wurzel{a_{k}} [/mm] * [mm] (1/5)^{k} [/mm] = [mm] \frac{\wurzel{a_{k}}}{0,5} [/mm] * [mm] \frac{\wurzel{a_{k}}}{1-(1/5)} [/mm] = [mm] \frac{a_{k}}{0,4} [/mm] das ist mein Grenzwert
doch wie hängt dieser mit der rationalen Zahl zusammen?
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Hallo Alex!
Zerlege in drei separate Teilreihen (jeweils geometrische Reihen) für $k \ = \ 3*m$ , $ k \ = \ 3*m+1$ sowie $k \ = \ 3*m+2$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
meinst du das etwa so:
für k=3n
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}*5^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}0,5^{k} [/mm] * [mm] (1/5)^{k} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}0,1^{k} [/mm]
Grenzwert:
1/1-0,1 = 10/9
für k=3n+1
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{2}{2^{k}*5^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}2* (1/10)^{k} [/mm]
Grenzwert:
[mm] \frac{2}{1-0,1} [/mm] = (20/9)
für k=3n+2
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{3}{2^{k}*5^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}3* (1/10)^{k} [/mm]
Grenzwert:
[mm] \frac{3}{1-0,1} [/mm] = (30/9)
doch wie hilft mir das weiter?
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Hallo Alex!
Du musst schon korrekt einsetzen.
$k \ = \ 3*m \ \ [mm] \Rightarrow \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{10^k} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{m=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{10}\right)^{3*m} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{m=0}^{\infty}\left[\left(\bruch{1}{10}\right)^3\right]^m [/mm] \ = \ [mm] \summe_{m=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{1000}\right)^m [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{1000}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1000}{99}$
[/mm]
Und nun Du weiter ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay
für k=3m+1 habe ich jetzt soweit umgeformt, dass:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}2*0,001^{m} [/mm] + 0,1
für lim [mm] n->\infty [/mm] fällt 0,1 ja weg richtig? also erhalte ich:
2/(1-0,001) = 2000/999
unf für k=3m+2 dann 3000/999
stimmt das?
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Hallo,
> okay
> für k=3m+1 habe ich jetzt soweit umgeformt, dass:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}2*0,001^{m}[/mm] + 0,1
das ist jedoch völlig falsch. Du hast
[mm] \sum_{k=3n+1}^{\infty}\bruch{2}{10^k}=\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{2}{10^{3n+1}}=\bruch{1}{5}\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{10^{3n}}=\bruch{20}{99}
[/mm]
(mit dem Eregbnis der ersten Teilreihe).
EDIT: ich habe hier das Ergebnis auf Grund der Korrektur von leduart ebenfalls korrigiert, da ich das Reultat von RoadRunner übernommen hatte.
> für lim [mm]n->\infty[/mm] fällt 0,1 ja weg richtig? also erhalte
> ich:
> 2/(1-0,001) = 2000/999
>
> unf für k=3m+2 dann 3000/999
> stimmt das?
Nein, das ist genauso falsch wie der Fall 3n+1. Versuche mal, meine obige Rechnung nachzuvollziehen und auf den dritten Fall anzuwenden.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay
für [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{3}{10^{3n+2}} [/mm] = 0,02 [mm] *\summe_{n=0}^{\infty}\frac{1}{10^{3n}} [/mm] = 0,02 [mm] *\summe_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1000}^{n} [/mm] = 0,02 * [mm] \frac{1}{1-(1/1000)} [/mm] = 20/999
stimmts?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Fr 13.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, rechne nach!
1. Stellenzahl nach Komma nach dem ersten =
,2. verwendete Ziffer
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Sa 14.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay ich habe es editiert. stimmt es nun? und wie hängt das mit der angegebene rationalen Zahl zusammen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Sa 14.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
die 0.02 sind falsch.
addiere die 3 richtigen Ergebnisse, was kommt soweit wie möglich gekürzt raus?
warum kommst du auf sowas nicht selbst?
gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Sa 14.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
weil ich mich frage wieso man 3 Folgen addiert. Aber ich denke das liegt daran das sie addiert zusammen die Partialsumme der gesamten Reihe ergeben, richtig?
ups. die 0,02 werden durch 0,03 ersetzt und dann erhalte ich für 3n+2:
10/333
richtig?
also (10/333) + (1000/999) + (200/999) = 410/333
nur wieso ist in der Aufgabenstellung die rationale Zahle nicht ausmultipliziert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 So 15.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo Alex
> weil ich mich frage wieso man 3 Folgen addiert. Aber ich
> denke das liegt daran das sie addiert zusammen die
> Partialsumme der gesamten Reihe ergeben, richtig?
was ist denn die Partialsumme einer Reihe?
du willst doch die Aufgabe lösen, also schreib ordentlich zusammen auf, was du gemacht hast und dann söllte da stehen :
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n=.........=.....=.....=410/333
[/mm]
mit den entsprechenden Zwischenschritten.
> ups. die 0,02 werden durch 0,03 ersetzt und dann erhalte
> ich für 3n+2:
> 10/333
> richtig?
> also (10/333) + (1000/999) + (200/999) = 410/333
>
> nur wieso ist in der Aufgabenstellung die rationale Zahle
> nicht ausmultipliziert?
weils dich verwirrt!
Gruss leduart
PS wir sind kein chat-raum, also gibts da auch Höflichkeitsformen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 So 15.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
kann es sein, dass ein Rechenfehler vorliegt und statt 20/99 200/999 herauskommt?
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Hallo,
> kann es sein, dass ein Rechenfehler vorliegt und statt
> 20/99 200/999 herauskommt?
Wenn du den Fall 3n+1 meinst: ja. Ich hatte das zunächst auch so hingeschrieben, hatte in meiner Rechnung aber das bestätigte Resultat für den Fall 3n einfach verwendet. Da dieses Resultat per Korrekturmeldung angezweifelt wurde, habe ich darauf gebaut, dass es damit seine Richtigkeit hat und mein Ergebnis entsprechend angepasst. Jetzt hab ich es nochmals nachgerechnet. Für den Fall (3n) haben wir einen Wert von 1000/999, für den Fall (3n+1) 200/999 und den dritten Fall (3n+2) kann man ja auf die gleiche Art und Weise auf den Fall (3n) zurückführen.
Entschuldige bitte meinen Fehler.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 So 15.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
kein Problem und danke für deine Hilfe 
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:50 Fr 13.12.2013 | | Autor: | leduart |
Kleiner (Tip)Fehler am Ende nicht 1000/99 sondern 1000/999
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
hier:
> Damit ist
>
> 0 [mm]\le \frac{a_{k}}{2^{k}*5^{k}} \le[/mm] 3*( [mm]\bruch{1}{2})^k[/mm]
>
> FRED
meinst du vermutlich 1/10 hinten in der Klammer, oder verstehe ich da etwas nicht?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Hallo Diophant,
ich glaube die (1/2) enstehen durch das abschätzen.
denn [mm] \frac{a_{k}}{2^{k}*5^{k}} \le \frac{a_{k}}{2^{k}} [/mm] = a* [mm] 0,5^{k} [/mm] und wegen k [mm] \le [/mm] 3 gilt:
a* [mm] 0,5^{k} \le [/mm] 3 * [mm] (1/2)^{k}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Hallo Diophant,
> ich glaube die (1/2) enstehen durch das abschätzen.
> denn [mm]\frac{a_{k}}{2^{k}*5^{k}} \le \frac{a_{k}}{2^{k}}[/mm] = a*
> [mm]0,5^{k}[/mm] und wegen k [mm]\le[/mm] 3 gilt:
> a* [mm]0,5^{k} \le[/mm] 3 * [mm](1/2)^{k}[/mm]
Ja, jetzt hab ich es auch verstanden. Man hätte auch 1/7 nehmen können, der Einfachheit eben 1/2 keinesfalls aber 1/11...
Gruß, Diophant
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