Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=20}^{unendlich} (-1)*(1)/(7n+15(-1)^n) [/mm]. |
Also ich weiß, dass die Reihe konvergiert, jedoch klappt kein Kriterium. Versucht habe ich Quotientenkriterium und Leibniz. Auch andere per Internet haben nicht geklappt, da für alle eine Vorraussetzung war, dass die Folge positiv ist, was sie ja für die geraden n >= 20 nicht ist.
Das einzige was ist weiß, ist, dass der Bruch gegen 0 geht(durch Leibniz); also die notwendige Bedingung für den Grenzwert besitzt.
Würde mich freuen, wenn mir jemand einen kleinen Tipp geben könnte.
LG
P.S. Newbie: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Di 03.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Konvergiert die Reihe [mm]\summe_{n=20}^{unendlich} (-1)*(1)/(7n+15(-1)^n) [/mm].
>
> Also ich weiß, dass die Reihe konvergiert, jedoch klappt
> kein Kriterium. Versucht habe ich Quotientenkriterium und
> Leibniz. Auch andere per Internet haben nicht geklappt, da
> für alle eine Vorraussetzung war, dass die Folge positiv
> ist, was sie ja für die geraden n >= 20 nicht ist.
> Das einzige was ist weiß, ist, dass der Bruch gegen 0
> geht(durch Leibniz); also die notwendige Bedingung für den
> Grenzwert besitzt.
>
> Würde mich freuen, wenn mir jemand einen kleinen Tipp
> geben könnte.
>
> LG
>
>
> P.S. Newbie: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf
> anderen Internetseiten gestellt. :D
>
Hallo,
eine Summe mit wechselnden Vorzeichen schreit doch geradezu nach dem Leibniz-Kriterium.
Gruß Abakus
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Hab ich ja getan. Aber leider ist weder die Bedinungen von [mm] a_n [/mm] >0 gegeben, noch [mm] a_n+1 [/mm] <= [mm] a_n. [/mm] Das ist ja der Grund warum ich frage. Soweit ich weiß wurde "Eigene Kreativität gefragt" gesagt... Aber die ist bei mir nach einer Stunde rumknobbeln, dann auch ausgeschöpft. Darum habe ich auf nen Tipp gehofft.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Di 03.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hab ich ja getan. Aber leider ist weder die Bedinungen von
> [mm]a_n[/mm] >0 gegeben, noch [mm]a_n+1[/mm] <= [mm]a_n.[/mm]
> Das ist ja der Grund
die Reihe
$ [mm] \summe_{n=20}^{\infty} (-1)\cdot{}(1)/(7n+15(-1)^n) [/mm] $
kann ja auch nicht konvergieren (Schachu meinte sicher, dass da
[mm] ($\*$) $\summe_{n=20}^{\infty} (-1)^\red{n}\cdot{}(1)/(7n+15(-1)^n) [/mm] $
stünde):
[mm] $7n+15*(-1)^n \le [/mm] 7n+15$ für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
Du kannst
$ [mm] \summe_{n=20}^{\infty} (-1)\cdot{}(1)/(7n+15(-1)^n)=-\sum_{n=20}^\infty \frac{1}{7n+(-1)^n*15}$ [/mm]
schreiben, und dann ist
[mm] $\sum_{n=20}^\infty \frac{1}{7n+(-1)^n*15} \ge \sum_{n=20}^\infty \frac{1}{7n+15} \ge \sum_{n=20}^\infty \frac{1}{7n+21}=\frac{1}{7} \sum_{n=20}^\infty \frac{1}{n+3}=\frac{1}{7}\sum_{\ell=23}^\infty \frac{1}{\ell},$
[/mm]
das solltest Du benutzen!
P.S. Sollte doch [mm] ($\*$) [/mm] gemeint gewesen sein, dann benutze doch bitte das
Leibnizkriterium. Dann wäre
[mm] $\summe_{n=20}^{\infty} (-1)^\red{n}\cdot{}(1)/(7n+15(-1)^n)=\summe_{n=20}^\infty (-1)^n a_n$
[/mm]
mit [mm] $a_n=\frac{1}{7n+(-1)^n*15}\,.$ [/mm] Zum einen solltest Du mal generell beachten,
dass bei Leibniz auch $0 < [mm] a_{n+1} \le a_n$ [/mm] nicht für alle [mm] $n\,$ [/mm] gelten muss, sondern
dass es auch reichen würde, dass $0 < [mm] a_{n+1} \le a_n$ [/mm] auch reichen würde, wenn
wir das für alle bis auf endliche viele [mm] $n\,$'s [/mm] wüßten (das Abändern endlich
vieler Summanden ändert nichts am Konvergenzverhalten(!) einer
Reihe).
Zum anderen sind obige [mm] $a_n$ [/mm] auch eh erstmal für $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 20$ so
definiert.
Und klar ist: [mm] $a_n \to 0\,.$ [/mm] Unklar ist die Monotonie von [mm] $(a_n)_n$: [/mm] Aber jetzt
mal "puristisch":
Bei [mm] $7n+(-1)^n*15$ [/mm] wird irgendwann der $7n$-Anteil überwiegen bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Und [mm] $(1/(7n))_n$ [/mm] fällt monoton gegen [mm] $0\,.$ [/mm] Daher wird auch
[mm] $(1/(7n+(-1)^n*15))_n$
[/mm]
ab einem genügend großen [mm] $N_0$ [/mm] sicher monoton fallend sein. (Wenn Du es
mathematisch ausführlicher/sauberer haben willst, dann frage nochmal
nach!)
(Edit: Leider war das Durchgestrichene doch Quatsch (was man merkt, wenn
man versucht, es sauber zu beweisen...)
Gruß,
Marcel
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Oh.. Es war natürlich (*) gemeint. Das Problem ist nur, dass das nur für jedes zweite Paar geht (für n=20 ist es ja schon negativ) und ich dachte, dass ich die kommutativ nicht vertauschen kann, da es die Reihe unendlich viele Summanden besitzt.
Vielleicht könntest du mir noch bisschen ausführen, warum die Reihe endlich viele Glieder besitzt. Für mich besitzt die unendlich viele. Dann ist mir deine Argumentation auf jedenfall klar.
Das mathematisch saubere Aufschreiben, versuch ich selber, wollte und brauchte nur ne Idee :D
Vielen Dank schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Di 03.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
(Edit: 5. wurde korrigiert!)
> Oh.. Es war natürlich (*) gemeint.
also
[mm] $\sum_{n=20}^\infty \frac{(-1)^n}{7n+(-1)^n*15}\,.$
[/mm]
> Das Problem ist nur, dass das nur für jedes zweite Paar geht (für n=20
> ist es ja schon negativ)
Drücke bitte immer sprachlich genau das aus, was Du meinst. Ich kenne
![[]](/images/popup.gif) ESEingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
auch, ist ein sehr guter Film!
> und ich dachte, dass ich die kommutativ
> nicht vertauschen kann, da es die Reihe unendlich viele
> Summanden besitzt.
Eine Reihe ist die Folge ihrer Partialsummen. Ich finde es immer "fragwürdig",
wenn da jemand von "unendlich vielen Summanden" redet. Da ist für
mich immer die Frage, was sich jemand unter unendlich vielen Summanden
vorstellen will. Aber sprachlich bist Du mit dieser Ausdrucksweise nicht
allein, ich benutze sie auch manchmal. Und ja: Du hast nicht nur endlich
viele Summanden und es gibt auch keinen Grund, anzunehmen, dass Du
"die Reihe umsortieren darfst".
> Vielleicht könntest du mir noch bisschen ausführen, warum
> die Reihe endlich viele Glieder besitzt.
> Für mich besitzt die unendlich viele. Dann ist mir deine Argumentation
> auf jedenfall klar.
Eine Reihe
$\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ ($n_0 \in \IZ$)
konvergiert genau dann, wenn eine (und damit auch jede) ihrer
sogenannten "Restreihen"
$\sum_{k=N}^\infty a_k$ ($N \in \IZ$ und $N \ge n_0$)
konvergiert.
(Im Prinzip ist das die Aussage, die man von Folgen kennt: Eine Folge ${(x_n)}_{n=n_0}^\infty$
ist genau dann konvergent, wenn eine (und damit jede) ihrer "Endstückfolgen"
${(x_n)}_{n=N}^\infty$ ($N \ge n_0$) konvergiert. Du betrachtest oben halt einfach
die Folge der Partialsummen, denn per Definitionem ist eine Reihe erstmal
nur das und nichts anderes. Erst, wenn man weiß, dass sie konvergiert,
dann bekommt das Symbol $\sum_{k=n_0}^\infty a_k,$ was für die Folge $\left(\sum_{k=n_0}^\ell a_k\right)_{\ell=n_0}^\infty$ eine zweite Bedeutung,
nämlich auch die des Grenzwertes dieser Partialsummenfolge!)
> Das mathematisch saubere Aufschreiben, versuch ich selber,
> wollte und brauchte nur ne Idee :D
Was rechnest Du denn? Wir haben
$a_n:=\frac{1}{7n+(-1)^n*15}\,,$
definiert für alle $n \in \IN$ mit $n \ge 20\,.$
Ich sehe nun:
Es gilt $a_n \ge 0\,$ für alle $n \in \IN.$ Das ist doch trivial, denn es gilt doch
$7n+(-1)^n*15 \ge 7*3-15=6 > 0$
sogar schon für alle $n \ge 3$ - dann gilt das erst recht für alle $n \ge 20\,.$
Also auch
$\frac{1}{7n+(-1)^n*15} > 0$
für alle $n \ge 20\,.$
2. Sei nun also $n \ge 20\,,$ dann gilt (leider(!))
$a_{n+1}\;\;\le\;\;a_{n}$
$\iff$ $\frac{1}{7(n+1)+(-1)^{n+1}*15}\;\;\le\;\;\frac{1}{7n+(-1)^n*15}$
$\iff$ $7n+(-1)^n*15\;\;\le\;\;7n+7+(-1)^{n+1}*15$
$\iff$ $0\;\;\le\;\;7+15*(-1)^n*((-1)-1)\,.$
Du hast Recht - da hatte ich zu puristisch gedacht - man sieht hier, dass
$a_{n+1} \le a_n$ genau dann gilt, wenn $n\,$ ungerade ist - für gerade $n\,$ haben wir $a_{n+1} > a_n\,.$
Leibniz macht also keinen Sinn, denn wir haben nicht Voraussetzungen zur
Anwendung von Leibniz.
3. Okay, wir brauchen also eine andere Idee:
Wir wissen
$\sum_{n=20}^\infty (-1)^n a_n$
mit $a_n=\frac{1}{7n+(-1)^n*15}\,.$
Weiter wissen wir
$0 \le a_{n} \le a_{n+1}$
für gerades $n\,.$ Das ist aber auch ganz gut, denn daraus folgt ($n\,$ gerade!)
$(-1)^n a_n-a_{n+1} \le 0$
bzw.
$(-1)^n a_n+(-1)^{n+1}a_{n+1} \le 0\,.$
4. Betrachten wir also mal
$\sum_{\ell=10}^\infty \left(\frac{(-1)^{2\ell}}{7*{2\ell}+(-1)^{2\ell}*15}+\frac{(-1)^{2\ell+1}}{7*(2\ell+1)+(-1)^{2\ell+1}*15}\right)$
Ist Dir klar, dass das 'im Wesentlichen' einfach nur eine Teilfolge der
Partialsummenfolge, die Du untersuchen sollst, ist? Rechne nach, dass
diese konvergiert - sie muss dann gegen eine Zahl $<\,0$ konvergieren (warum?).
5. Betrachte nun auch mal
$(-1)^{20}a_{20}+\sum_{\ell=10}^\infty \left(\frac{(-1)^{2\ell\red{+1}}}{7*{(2\ell\red{+1})}+(-1)^{2\ell\red{+1}}*15}+\frac{(-1)^{2\ell\red{+1}+1}}{7*(2\ell\red{+1}+1)+(-1)^{2\ell\red{+1}+1}*15}\right)$
$=a_{20}+\sum_{\ell=10}^\infty \left(\frac{(-1)^{2\ell\red{+1}}}{7*{(2\ell\red{+1})}+(-1)^{2\ell\red{+1}}*15}+\frac{(-1)^{2\ell\red{+1}+1}}{7*(2\ell\red{+1}+1)+(-1)^{2\ell\red{+1}+1}*15}\right)\,.$
Zeige, dass diese Teilfolge der zu untersuchenden Partialsummenfolge
konvergiert, und dass dies nur gegen einen Wert $> 0\,$ möglich ist.
(Das ist allerdings anscheinend nicht trivial - die Reihe
$\sum_{\ell=10}^\infty \left(\frac{(-1)^{2\ell\red{+1}}}{7*{(2\ell\red{+1})}+(-1)^{2\ell\red{+1}}*15}+\frac{(-1)^{2\ell\red{+1}+1}}{7*(2\ell\red{+1}+1)+(-1)^{2\ell\red{+1}+1}*15}\right$
konvergiert anscheinend gegen einen Wert $< 0\,,$ und wichtig wäre es, festzustellen,
dass dieser Reihenwert $\ge \;\;-\;a_{20}$ ist...)
6. Wegen 5. folgt dann, dass die zu untersuchende Reihe zwei echt
voneinander verschiedene Häufungspunkte hat - kann sie dann noch
konvergent sein?
Gruß,
Marcel
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