matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenKonvergenz einer Reihe
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz einer Reihe
Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 Mo 13.02.2012
Autor: highway

Aufgabe
Untersuchen Sie, für welche x [mm] \in \IR [/mm] die Reihe
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} (-1)^n \bruch{e^{x*n^2}}{\wurzel{n^2 - n}} [/mm]
konvergiert, für welche sie divergiert.

Hallo,

ich brüte nun schon einige Zeit über dieser Aufgabe. Was mich dabei irritiert ist das [mm] e^{x*n^2}. [/mm]
Meine erste Idee war zu versuchen die Reihe in die Potenzreihenform [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n x^n [/mm] zu bringen. Eine Möglichkeit, die ich noch nicht weiter verfolgt habe, da sie mir sehr Rechenintensiv erscheint, wäre sicherlich das [mm] e^x [/mm] als Potenzreihe zu schreiben und das Cauchy- Produkt zu bilden. In diesem Zusammenhang wäre meine erste Frage, ob es einfacher geht und es vielleicht sogar möglich ist zu substituieren. Also
[mm] e^{x*n^2} [/mm] = [mm] (e^x)^n^2 [/mm] und dann mit y := [mm] e^x [/mm] hätte man [mm] \summe_{n=2}^{\infty} a_n y^n^2. [/mm]

Mein weiterer Lösungsansatz bestand dann darin das Quotientenkriterium auf die Reihe anzuwenden:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(-1)^{n+1} * \bruch{e^{x*(n+1)^2}}{\wurzel{(n+1)^2 - (n+1)}}}{(-1)^{n} * \bruch{e^{x*(n)^2}}{\wurzel{n^2 - n}}}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{e^{x*n^2 + 2*x*n + x} * \wurzel{n^2 - n}}{e^{x*n^2}{\wurzel{n^2 + n}}}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{e^{2*x*n + x} * \wurzel{n^2 - n}}{{\wurzel{n^2 + n}}}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |e^{2*x*n + x} [/mm] | [mm] *|\bruch{ \wurzel{n^2 - n}}{{\wurzel{n^2 + n}}}| [/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{n^2-n}{n^2+n}} [/mm] geht für n [mm] \rightarrow\infty [/mm] gegen 1 Naja und dann habe ich ja sozusagen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |e^{2*x*n}*e^x| [/mm] und das ist < 1 [mm] \forall [/mm] x < 0
Kann ich den Logarithmus in den Limes hineinziehen? Weil dann hätte ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] |(2xn)+x| !< 0 und somit
|x| !< [mm] \bruch{0}{\infty} [/mm]
Was ja dann dafür sprechen würde, dass die Reihe für x < 0 konvergiert?
Das sind meine Gedankengänge zu der Aufgabe, die mir zum Teil recht Zweifelhaft erscheinen. Ich bin für jeden Hinweis wirklich sehr dankbar.

Vielen Dank für jede Hilfe ;)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Mo 13.02.2012
Autor: rainerS

Hallo!

Erstmal herzlich [willkommenvh]

(Hinweis: es ist hilfreich, wenn du deinen amthematischen Background in deinem Profil einträgst, dann wissen wir, auf welchem Niveau wir antworten sollten.)

> Untersuchen Sie, für welche x [mm]\in \IR[/mm] die Reihe
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} (-1)^n \bruch{e^{x*n^2}}{\wurzel{n^2 - n}}[/mm]
>  
> konvergiert, für welche sie divergiert.
>  Hallo,
>
> ich brüte nun schon einige Zeit über dieser Aufgabe. Was
> mich dabei irritiert ist das [mm]e^{x*n^2}.[/mm]
>  Meine erste Idee war zu versuchen die Reihe in die
> Potenzreihenform [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n x^n[/mm] zu bringen.
> Eine Möglichkeit, die ich noch nicht weiter verfolgt habe,
> da sie mir sehr Rechenintensiv erscheint, wäre sicherlich
> das [mm]e^x[/mm] als Potenzreihe zu schreiben und das Cauchy-
> Produkt zu bilden. In diesem Zusammenhang wäre meine erste
> Frage, ob es einfacher geht und es vielleicht sogar
> möglich ist zu substituieren. Also
> [mm]e^{x*n^2}[/mm] = [mm](e^x)^n^2[/mm] und dann mit y := [mm]e^x[/mm] hätte man
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} a_n y^n^2.[/mm]
>  
> Mein weiterer Lösungsansatz bestand dann darin das
> Quotientenkriterium auf die Reihe anzuwenden:
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(-1)^{n+1} * \bruch{e^{x*(n+1)^2}}{\wurzel{(n+1)^2 - (n+1)}}}{(-1)^{n} * \bruch{e^{x*(n)^2}}{\wurzel{n^2 - n}}}|[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{e^{x*n^2 + 2*x*n + x} * \wurzel{n^2 - n}}{e^{x*n^2}{\wurzel{n^2 + n}}}|[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{e^{2*x*n + x} * \wurzel{n^2 - n}}{{\wurzel{n^2 + n}}}|[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |e^{2*x*n + x}[/mm] | [mm]*|\bruch{ \wurzel{n^2 - n}}{{\wurzel{n^2 + n}}}|[/mm]
>  
> [mm]\wurzel{\bruch{n^2-n}{n^2+n}}[/mm] geht für n [mm]\rightarrow\infty[/mm]
> gegen 1 Naja und dann habe ich ja sozusagen:

Du kannst nicht in jedem Fall den Grenzwert eines Produkts als Produkt der Grenzwerte schreiben. Das funktioniert nur umgekehrt: existieren die Grenzwerte der Faktoren, dann existiert der Grenzwert des Produkts. Du schließt aber umgekehrt.

>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |e^{2*x*n}*e^x|[/mm] und das ist <
> 1 [mm]\forall[/mm] x < 0
>  Kann ich den Logarithmus in den Limes hineinziehen?

Der Logarithmus ist in seinem Definitionsbereich stetig.

> Weil
> dann hätte ich
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] |(2xn)+x| !< 0 und somit
>  |x| !< [mm]\bruch{0}{\infty}[/mm]
> Was ja dann dafür sprechen würde, dass die Reihe für x <
> 0 konvergiert?
> Das sind meine Gedankengänge zu der Aufgabe, die mir zum
> Teil recht Zweifelhaft erscheinen. Ich bin für jeden
> Hinweis wirklich sehr dankbar.

Zunächst einmal konvergiert eine Reihe nur, wenn die einzelnen Glieder eine Nullfolge bilden. Zu diesem notwendigen Kriterium hast du für alternierende Reihen noch das (hinreichende) Leibnizkriterium: handelt es sich um eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die Reihe.

  Viele Grüße
     Rainer

Bezug
                
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Mo 13.02.2012
Autor: highway

Vielen Dank für die Schnelle Antwort.
Habe meinen Hintergrund nun im Profil eingetragen (Ich Studiere Informatik).

Der Hinweis mit dem Leibnizkriterium war gut. Danke nochmal! Ich bin es nun so angegangen:
Erstmal Zeige ich die Monotonie:
[mm] \bruch{e^{x*n^2}}{\wurzel{n^2 - n}} [/mm] > [mm] \bruch{e^{x(n+1)^2}}{\wurzel{(n+1)^2 - (n+1)}} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{\wurzel{n^2 - n}} [/mm] > [mm] \bruch{e^{2nx + x}}{\wurzel{n^2+n}} [/mm]
[mm] \gdw \wurzel{\bruch{n+1}{n - 1}} [/mm] > [mm] e^{2nx + x} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{n+1}{n - 1} [/mm] > [mm] e^{4nx + 2x} [/mm] (Werte sind positiv)
[mm] \gdw [/mm] 1 > [mm] e^{4nx + 2x}\bruch{n-1}{n + 1} [/mm]
   [mm] \bruch{n-1}{n + 1} [/mm] < 1 für alle n > 0
[mm] \gdw [/mm] 1 > [mm] e^{x(4n + 2)}\bruch{n-1}{n + 1} [/mm]

Also ist die Folge monoton fallend für x <= 0

Dann die Nullfolge:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^{x*n^2}}{\wurzel{n^2+n}} [/mm]
Für x < 0 ist [mm] (x*n^2) [/mm] < 0 und damit geht [mm] e^{x*n^2} \rightarrow [/mm] 0 für n [mm] \rightarrow \infty. [/mm]
Der untere Teil geht gegen uendlich, also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^{x*n^2}}{\wurzel{n^2+n}} \rightarrow [/mm] 0

Also konvergiert meine Reihe dann für x <= 0 und divergiert für x > 0?



Bezug
                        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Mo 13.02.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Vielen Dank für die Schnelle Antwort.
> Habe meinen Hintergrund nun im Profil eingetragen (Ich
> Studiere Informatik).
>  
> Der Hinweis mit dem Leibnizkriterium war gut. Danke
> nochmal! Ich bin es nun so angegangen:
>  Erstmal Zeige ich die Monotonie:
>  [mm]\bruch{e^{x*n^2}}{\wurzel{n^2 - n}}[/mm] >

> [mm]\bruch{e^{x(n+1)^2}}{\wurzel{(n+1)^2 - (n+1)}}[/mm]
>  [mm]\gdw \bruch{1}{\wurzel{n^2 - n}}[/mm]
> > [mm]\bruch{e^{2nx + x}}{\wurzel{n^2+n}}[/mm]
>  [mm]\gdw \wurzel{\bruch{n+1}{n - 1}}[/mm]
> > [mm]e^{2nx + x}[/mm]
>  [mm]\gdw \bruch{n+1}{n - 1}[/mm] > [mm]e^{4nx + 2x}[/mm]

> (Werte sind positiv)
>  [mm]\gdw[/mm] 1 > [mm]e^{4nx + 2x}\bruch{n-1}{n + 1}[/mm]

>     [mm]\bruch{n-1}{n + 1}[/mm]
> < 1 für alle n > 0
>  [mm]\gdw[/mm] 1 > [mm]e^{x(4n + 2)}\bruch{n-1}{n + 1}[/mm]

>  
> Also ist die Folge monoton fallend für x <= 0
>  
> Dann die Nullfolge:
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^{x*n^2}}{\wurzel{\red{n^2+n}}}[/mm]

im Nenner steht eigentlich [mm] $\sqrt{n^2-n}\,.$ [/mm] Das strebt zwar auch gegen [mm] $\infty\,,$ [/mm] bedarf aber einer kleinen Begründung:
Etwa wegen
[mm] $$\sqrt{n^2-n}=\sqrt{n}*\underbrace{\sqrt{n-1}}_{\ge 1 \text{ für }n \ge 2}$$ [/mm]
oder wegen
[mm] $$\sqrt{n^2-n} \ge \sqrt{n^2-(n^2/2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}*n$$ [/mm]
(für alle [mm] $n\ge [/mm] 2$).

Gruß,
Marcel

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:05 Mo 13.02.2012
Autor: highway

Stimmt! Danke das du mich darauf aufmerksam gemacht hast.

Viele Grüße
Highway

Bezug
        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 Mo 13.02.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Untersuchen Sie, für welche x [mm]\in \IR[/mm] die Reihe
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} (-1)^n \bruch{e^{x*n^2}}{\wurzel{n^2 - n}}[/mm]
>  
> konvergiert, für welche sie divergiert.

im Hinblick auf die Anwendung des Wks berechnen wir
[mm] $$\sqrt[n]{|(-1)^n \exp(x*n^2)/\sqrt{n^2-n}|}=\exp(xn)/\sqrt[n]{\sqrt{n^2-n}}\,.$$ [/mm]

Weil der Nenner [mm] ($\sqrt[n]{\sqrt{n^2-n}}$) [/mm] gegen [mm] $1\,$ [/mm] strebt (warum?), ist er für alle genügend große [mm] $n\,$ [/mm] stets zwischen $0,5$ und [mm] $1,5\,.$ [/mm] Daher gilt
[mm] $$\frac{2}{3}\exp(n*x) \le \sqrt[n]{|(-1)^n \exp(x*n^2)/\sqrt{n^2-n}|} \le 2\exp(n*x)$$ [/mm]
für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ mit einem $N [mm] \in \IN\,.$ [/mm]

Für [mm] $x\not=0$ [/mm] kannst Du so folgern:
Für $x < 0$ konvergiert die Reihe absolut (warum?) und für $x > 0$ divergiert sie (warum?). Für [mm] $x=0\,$ [/mm] musst Du nochmal separat nachgucken (was Du aber wohl schonmal woanders gemacht hast: Leibniz ist da naheliegend!).

Gruß,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:29 Di 14.02.2012
Autor: highway

Vielen Dank für die Hilfe! :) Ich glaube ich habs jetzt.

Viele Grüße
Highway

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]