Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 So 20.02.2011 | | Autor: | Klemme |
| Aufgabe | Untersuchen der Reihe auf Konvergenz:
[mm] \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch {\wurzel n}{n+1} [/mm] |
Hallo,
es wäre schön, wenn jmd. mal drüberschauen könnte, ob das so stimmt, da ich mich leider oft verrechne. Also hier meine Lösung:
da dies eine alternierende Reihe ist, wende ich das Leibnizkriterium an:
1. [mm] a_k [/mm] >0
2. [mm] a_{k+1}\le a_k
[/mm]
3. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_k=0
[/mm]
zu 1.)
[mm] \bruch {\wurzel n}{n+1}>0 \qquad [/mm] |*(n+1)
[mm] \wurzel{n}>0 \Rightarrow [/mm] wahre Aussage
zu 2.)
[mm] \bruch{\wurzel {n+1}}{n+2}\le\bruch {\wurzel n}{n+1}\qquad |-\bruch {\wurzel n}{n+1}
[/mm]
[mm] (\wurzel{n+1}*(n+1))\le(\wurzel{n}*(n+2)\qquad |^2
[/mm]
[mm] ((n+1)*(n^2+2n+1))\le(n*(n^2+4n+4)\qquad |-(n*(n^2+4n+4)
[/mm]
[mm] ((n+1)*(n^2+2n+1))-(n*(n^2+4n+4)\le0
[/mm]
[mm] (n^3+4n^2+3n+1)-(n^3+4n^2+4n)\le0
[/mm]
-n+1 [mm] \le0\qquad [/mm] |-n
1 [mm] \le [/mm] n [mm] \Rightarrow [/mm] wahre Aussage
zu 3.)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch {\wurzel n}{n+1}=0 [/mm] , da der Zähler viel schneller wächst als der Nenner, geht [mm] a_k [/mm] gegen Null.
Ich hoffe, diese Begründung reicht aus.
Danke schon mal fürs drüberschauen.
lg
Klemme
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Hi,
> Untersuchen der Reihe auf Konvergenz:
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch {\wurzel n}{n+1}[/mm]
>
> Hallo,
>
> es wäre schön, wenn jmd. mal drüberschauen könnte, ob
> das so stimmt, da ich mich leider oft verrechne. Also hier
> meine Lösung:
>
> da dies eine alternierende Reihe ist, wende ich das
> Leibnizkriterium an:
> 1. [mm]a_k[/mm] >0
> 2. [mm]a_{k+1}\le a_k[/mm]
> 3. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_k=0[/mm]
>
> zu 1.)
> [mm]\bruch {\wurzel n}{n+1}>0 \qquad[/mm] |*(n+1)
>
> [mm]\wurzel{n}>0 \Rightarrow[/mm] wahre Aussage
Ist auch allgemein klar, da n positiv.
>
> zu 2.)
> [mm]\bruch{\wurzel {n+1}}{n+2}\le\bruch {\wurzel n}{n+1}\qquad |-\bruch {\wurzel n}{n+1}[/mm]
>
> [mm](\wurzel{n+1}*(n+1))\le(\wurzel{n}*(n+2)\qquad |^2[/mm]
>
> [mm]((n+1)*(n^2+2n+1))\le(n*(n^2+4n+4)\qquad |-(n*(n^2+4n+4)[/mm]
>
> [mm]((n+1)*(n^2+2n+1))-(n*(n^2+4n+4)\le0[/mm]
>
> [mm](n^3+\red{3}n^2+3n+1)-(n^3+4n^2+4n)\le0[/mm]
Von hier an nochmal überarbeiten.
>
> -n+1 [mm]\le0\qquad[/mm] |-n
>
> 1 [mm]\le[/mm] n [mm]\Rightarrow[/mm] wahre Aussage
Noch eine allgemeine Anmerkung: Wenn du einen Beweis aufschreibst, dann beginne mit Voraussetzungen und forme solange um, bis die Behauptung da steht. Hier versuchst du es andersrum zu zeigen, was die falsche Richtung ist.
>
> zu 3.)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch {\wurzel n}{n+1}=0[/mm] , da
> der Zähler viel schneller wächst als der Nenner, geht [mm]a_k[/mm]
> gegen Null.
>
> Ich hoffe, diese Begründung reicht aus.
Wenn du noch [mm] \sqrt{n} [/mm] aus Zähler und Nenner ausklammerst (Zwischenschritt) wirds noch deutlicher.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 So 20.02.2011 | | Autor: | Klemme |
Hallo Kamaleonti,
danke erst mal für die schnelle Antwort. :)
> > [mm]((n+1)*(n^2+2n+1))-(n*(n^2+4n+4)\le0[/mm]
> >
> > [mm](n^3+\red{3}n^2+3n+1)-(n^3+4n^2+4n)\le0[/mm]
> Von hier an nochmal überarbeiten.
[mm] -n^2-n+1\le0 [/mm] =-n(n-1) [mm] \qquad [/mm] |:(-n)
[mm] n-1\ge0 [/mm] -> [mm] n\ge1
[/mm]
> Noch eine allgemeine Anmerkung: Wenn du einen Beweis
> aufschreibst, dann beginne mit Voraussetzungen und forme
> solange um, bis die Behauptung da steht. Hier versuchst du
> es andersrum zu zeigen, was die falsche Richtung ist.
Wäre meine Voraussetzung dann [mm] a_k>0 [/mm] und somit [mm] a_k+a_{k+1}>0?
[/mm]
> > zu 3.)
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch {\wurzel n}{n+1}=0[/mm] ,
> da
> > der Zähler viel schneller wächst als der Nenner, geht [mm]a_k[/mm]
> > gegen Null.
> >
> > Ich hoffe, diese Begründung reicht aus.
> Wenn du noch [mm]\sqrt{n}[/mm] aus Zähler und Nenner ausklammerst
> (Zwischenschritt) wirds noch deutlicher.
>
> Gruß
>
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch {\wurzel n}{n+1}=0[/mm]=[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch {1}{\wurzel{n}+\bruch{1}{n}}=0[/mm]
Oder geht das noch besser?
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Hallo Klemme,
> > Noch eine allgemeine Anmerkung: Wenn du einen Beweis
> > aufschreibst, dann beginne mit Voraussetzungen und forme
> > solange um, bis die Behauptung da steht. Hier versuchst du
> > es andersrum zu zeigen, was die falsche Richtung ist.
>
> Wäre meine Voraussetzung dann [mm]a_k>0[/mm] und somit
> [mm]a_k+a_{k+1}>0?[/mm]
Kein Plan, was du damit beabsichtigst.
Ich meine nur wie du den Beweis aufschreibst. Sicherlich ist es gut erst mal die Behauptung zu was bekanntem zu umzuformen, aber am Ende solltest du es andersrum aufschreiben. Oder zumindest die Richtung der Schlüsse kennzeichnen.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch {\wurzel n}{n+1}=0[/mm]=[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch {1}{\wurzel{n}+\bruch{1}{\red{\sqrt{n}}}}=0[/mm]
Ok, bis auf den kleinen Schnitzer.
Gruß
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