Konvergenz einer Reihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Mi 16.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie diejenigen Elemente [mm] n\in\IZ, [/mm] für die folgende Reihe konvergiert, und geben Sie die Summe an: [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(2i)^{n*k} [/mm] |
Hallo,
eigentlich ist das eine ganz ganz einfache Reihe und auch Aufgabe, aber leider habe ich mich bisher noch nicht damit beschäftigt, deswegen fände ich es nett wenn es mir jemand GANZ GENAU erklären würde  .
Also ich habe gleich auf den ersten Blick gesehen, dass diese Reihe eine geometrische Reihe (Reihe der Form [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a*r^{k}) [/mm] mit [mm] r:=(2i)^{n} [/mm] und a=1.
Diese Art von Reihen konvergiert ja, wenn r in der offenen Menge zwischen -1 und 1 liegt. Das heißt ich muss das hier eigentlich nur als Bedingung setzen: [mm] (2i)^{n} \in [/mm] (-1,1) und dann nach n auflösen. Aber mal ganz dumm gefragt: wie mache ich das?? Aufteilen in [mm] (2i)^{n}= [/mm] -1 und [mm] (2i)^{n}=1 [/mm] und dann...?
Die Lösung ist ja, dass es genau für [mm] n\le0 [/mm] konvergiert und zwar gegen [mm] \bruch{1}{1-(2i)^{n}}. [/mm] Der Grenzwert ist mir klar, das ist einfach nach der Formel [mm] \summe_{i=0}^{k}a\*r^{k}=\bruch{a}{1-r}.
[/mm]
Es wäre nett wenn mir jemand genau erklärt wie man nach dem n auflöst...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Mi 16.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
setz doch mal nacheinander n=1,2,3,4 und guck dir an was die Summenglieder sind.
da i.A. [mm] i^n [/mm] keine reelle Zahl ist kann sie nicht in (-1,+1 liegen hoechstens der Betrag.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie diejenigen Elemente [mm]n\in\IZ,[/mm] für die
> folgende Reihe konvergiert, und geben Sie die Summe an:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(2i)^{n*k}[/mm]
> Hallo,
>
> eigentlich ist das eine ganz ganz einfache Reihe und auch
> Aufgabe, aber leider habe ich mich bisher noch nicht damit
> beschäftigt, deswegen fände ich es nett wenn es mir
> jemand GANZ GENAU erklären würde .
>
> Also ich habe gleich auf den ersten Blick gesehen, dass
> diese Reihe eine geometrische Reihe (Reihe der Form
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a*r^{k})[/mm] mit [mm]r:=(2i)^{n}[/mm] und a=1.
> Diese Art von Reihen konvergiert ja, wenn r in der offenen
> Menge zwischen -1 und 1 liegt. Das heißt ich muss das hier
> eigentlich nur als Bedingung setzen: [mm](2i)^{n} \in[/mm] (-1,1)
Nein ! Du hast richtig erkannt, dass es sich um eine geometrische Reihe handelt. Also:
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(2i)^{n\cdot{}k} [/mm] $ ist konvergent [mm] \gdw $|(2i)^n| [/mm] <1 [mm] \gdw 2^n [/mm] <1 [mm] \gdw [/mm] n<0$
FRED
> und dann nach n auflösen. Aber mal ganz dumm gefragt: wie
> mache ich das?? Aufteilen in [mm](2i)^{n}=[/mm] -1 und [mm](2i)^{n}=1[/mm]
> und dann...?
> Die Lösung ist ja, dass es genau für [mm]n\le0[/mm] konvergiert
> und zwar gegen [mm]\bruch{1}{1-(2i)^{n}}.[/mm] Der Grenzwert ist mir
> klar, das ist einfach nach der Formel
> [mm]\summe_{i=0}^{k}a\*r^{k}=\bruch{a}{1-r}.[/mm]
> Es wäre nett wenn mir jemand genau erklärt wie man nach
> dem n auflöst...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Danke schonmal
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