Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:21 Fr 11.07.2008 | | Autor: | dupline |
| Aufgabe | Bestimmen Sie ob die folgenden Reihen konvergieren (absolut oder nur einfach) oder divergieren. (Aufgabe 2)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1+n+n^2}{\wurzel{1+n^2+n^6}} [/mm] |
Ich habe versucht mit dem Quotientenkriterium vorzugehen, da bin ich aber nicht weitergekommen.
Dann dachte ich, ich versuch es mit der divergierenden Minorante (da die Lösung Divergenz ist) aber ich komme auch nicht auf ein richtiges Ergebnis...
kann mir vielleicht jemand einen Tip geben, wie ich vorgehen muss ??
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Fr 11.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Im Bruch
$ [mm] \bruch{1+n+n^2}{\wurzel{1+n^2+n^6}} [/mm] $
ist der Zähler >_ n² und der Nenner <_ [mm] 3n^{3}
[/mm]
Damit ist die harmonische Reihe eine divergente Minorante
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Fr 11.07.2008 | | Autor: | dupline |
Hallo FRED,
>
> ist der Zähler >_ n² und der Nenner <_ [mm]3n^{3}[/mm]
ok, der Zähler > n² ist mir klar... aber wie komme ich auf den Nenner <_ [mm]3n^{3}[/mm] ??
Wie komm ich da von der Wurzel drauf ?
Zieh ich einfach die Wurzel von [mm] n^6 [/mm] ? Aber wo kommt dann die 3 her ?
Gruß Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Fr 11.07.2008 | | Autor: | fred97 |
[mm] 1+n²+n^{6} [/mm] <_ [mm] 3n^{6}
[/mm]
Jetzt Wurzel ziehen
FRED
P.S: ersetze in meiner ersten Antwort 3 durch wurzel(3) (war etwas zu flüchtig)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Fr 11.07.2008 | | Autor: | dupline |
Es tut mir leid, aber ich steh grad voll auf dem Schlauch...
aber wieso ist
[mm]1+n²+n^{6}[/mm] <_ [mm]3n^{6}[/mm]
also ich hab doch links noch das [mm] 1+n^2 [/mm] und rechts 3 mal das [mm] n^6 [/mm] mir ist nicht ersichtlich dass der linke Teil kleiner ist als der rechte ...
steigt der rechte Term durch das 3mal schneller als der linke teil mit der Summe [mm] 1+n^2 [/mm] ???
Gruß Katrin
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Hallo Katrin,
> Es tut mir leid, aber ich steh grad voll auf dem
> Schlauch...
> aber wieso ist
> [mm]1+n²+n^{6}[/mm] [mm] \le[/mm] [mm]3n^{6}[/mm]
>
> also ich hab doch links noch das [mm]1+n^2[/mm] und rechts 3 mal das
> [mm]n^6[/mm] mir ist nicht ersichtlich dass der linke Teil kleiner
> ist als der rechte ...
> steigt der rechte Term durch das 3mal schneller als der
> linke teil mit der Summe [mm]1+n^2[/mm] ???
Zunächst einmal: das "kleinergleich"-Zeichen kriegst du mit \le hin: [mm] \le
[/mm]
Und dann zur Frage: ja natürlich, vllt. siehst du's besser oder direkter wenn du es so schreibst:
[mm] $\blue{1}+\green{n^2}+n^6 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \blue{n^6}+\green{n^6}+n^6=3n^6$
[/mm]
Das ist doch offensichtlich für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] eine gültige Aussage, wenn du's unbedingt beweisen willst/sollst, mach ne Induktion, aber eigentlich ist [mm] $1\le n^6$ [/mm] und [mm] $n^2\le n^6$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] klar, oder?
Für $n=1$ gilt Gleichheit, für alle [mm] $n\ge [/mm] 2$ die strikte Ungleichung
Wie sieht nun also insgesamt die Abschätzung für die Reihe aus und wie die divergente Minorante?
> Gruß Katrin
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Fr 11.07.2008 | | Autor: | dupline |
Hallo,
> Zunächst einmal: das "kleinergleich"-Zeichen kriegst du mit
> [mm] \le [/mm] hin: [mm]\le[/mm]
ok, danke... ich bin mit der Schreibweise noch nicht ganz vertraut 
> [mm]\blue{1}+\green{n^2}+n^6 \ \le \ \blue{n^6}+\green{n^6}+n^6=3n^6[/mm]
ha... so check's sogar ich :)
ok also ist der Zähler (rechts) kleiner und der Nenner (rechts) größer... und somit der ganze Ausdruck kleiner --> divergierende Minorante... *grins*
super... danke euch beiden !!!
Gruß Katrin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Fr 11.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein!
Das
"somit der ganze Ausdruck kleiner --> divergierende Minorante."
ist falsch.
Statt "kleiner" muß es "größer " lauten.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 Fr 11.07.2008 | | Autor: | dupline |
aber ich dachte wir versuchen (bei divergierender Minorante) einen Ausdruck zu finden, der kleiner ist als der gegebene Ausdruck (bei mir immer die rechte Seite, da ich immer was kleinereres finden möchte)
Und bei dem kleineren Ausdruck wissen wir dann eben, dass er divergiert (wie z.B. bei der harmonischen Reihe).
muss jetzt in ne Vorlesung.. :-(
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