Konvergenz einer Reihe < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen mit jeweils reellem t auf Konvergenz:
a) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(sin(nt)/n)
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(cos(nt)/n)
[/mm]
c) [mm] \summe_{i=2}^{\infty}(sin(nt)/logn) [/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Ich bin etwas verzweifelt!
Welches Kriterium brauche ich hier für mein Beweis?
Oder geht es irgendwie anderes?
Vielen Dank, dass Sie sich Zeit dafür nehmen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hi Tomas,
ich will mal versuchen hier zu argumentieren:
> a) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(sin(nt)/n)[/mm]
Ich denke für t=0 oder [mm] t=\pi [/mm] konvergiert die Reihe, denn dann sind alle Glieder 0.
Ist t [mm] \not= [/mm] 0 dann gilt 0 < |sin(nt)| <= 1.
Nun kann man doch sicher soviele Gleider zusammenfassen, dass deren Betrag insgesamt > [mm] \frac{1}{n} [/mm] werden.
Und jetzt kann man [mm] \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i} [/mm] als divergente Minorante nehmen,
da |Zusammengfeasste \ Glieder| >= [mm] \frac{1}{n}.
[/mm]
Also mir erscheint das im Moment plausibel, natürlich muss man das ganze noch anständig ausformulieren, falls keiner mehr einen Fehler entdeckt ;)....
Was mienst du?
Grüße Mumrel
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| Aufgabe | Musterlösung:
a) und b). Die Zerlegung der endlichen geometrischen Summe
[mm] \summe_{i=1}^{N}e^{int}=\bruch{e^{it}-e^{i(N+1)t}}{1-e^{it}}=\bruch{e^{i(N+\bruch{1}{2})t}-e^{\bruch{it}{2}}}{e^{\bruch{it}{2}}-e^{\bruch{-it}{2}}}=
[/mm]
[mm] =\bruch{sin(N+\bruch{1}{2})t}{2sin\bruch{t}{2}}-\bruch{1}{2}+i\bruch{cos\bruch{t}{2}-cos(N+\bruch{1}{2})t}{2sin\bruch{t}{2}}
[/mm]
in Real- und Imaginärteil zeigt, dass die Summen [mm] \summe_{i=1}^{N}sinnt [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{N}cosnt [/mm] für jedes t [mm] \in \IR\ ohne(2\pi\IZ) [/mm] dem Betrag nach beschränkt sind durch [mm] \bruch{1}{sin\bruch{t}{2}}.
[/mm]
Weil 1/n eine monoton fallende Nullfolge ist, konvergieren die Reihen a und b für t [mm] \in \IR\ ohne(2\pi\IZ).
[/mm]
Natürlich konvergiert die erste Reihe bei t [mm] \in \IR\ ohne(2\pi\IZ), [/mm] während die zweite dort devergiert. |
Hallo!
Das ist die Musterlösung, die ich entdeckt habe! Die Begründung unten ist mir klar.
Ich habe nur meine Probleme mit dem Term oben, wie man darauf kommt und wie man damit umgeht.
Es wäre toll, wenn mir es jemand erklären könnte!
Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Di 21.08.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Sa 18.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die erste und die lzweite Reihe koonvergieren für die t wo sin(nt), bzw. cos(nt) alterniert, dann sinds Leibnizreihen, gilt auch für die letzte,
Dann gibts die Werte, wo die ganze Reihe =0 ist, und die anderen Werte von t muss man überlegen, ob man immer alternierende Teile zusammenfassen kann oder nicht. jedenfalls gibts ne menge t, so dass sie Konvergieren, und sicher einige bei der sie divergiert. (ohne Gewähr)
Gruss leduart
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